国立大学入試問題 中堅大学レベル

質問

数学が苦手な質問者です。
このたびAO入試で合格したのですが、大学から課題が送られてきました・・・
が数学が苦手で問題みてもわかんないわかんないってなってしまっています・・・
学校の先生によると入試の過去問でしょ！！！こんなん普通には解けないよ～って言われてしまい、さらにパニくるだけです(ノд・。)
どなたか解き方、解説お願いします・・・！

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

考え方だけ

４(1)
f(x)=x^2-1 (x≧0)　の逆関数は、f^(-1)(x)=√(x+1)　なので、
x^2-1=√(x+1)　を解く。

４(2)も同じやりかたです。

５(1)
f(x)=ax(1-x)=x
これは２次関数なので、判別式を調べる。

５(2)
f(f(x))=f(ax(1-x))=a(ax(1-x))(1-ax(1-x))=x
これは４次関数であるが、x=0が１つの解なので、残りは３次関数となる。
３次関数の極値と、x=0のときの符号を調べる。

６(1)
f(0+0)=f(0)f(0)、f(x-x)=f(x)f(-x)
を利用する。

６(2)
f(1/2+1/2)=f(1/2)f(1/2)
f(1+1/2)=f(1)f(1/2)
を利用する。

６(3)
f(2x)=f(x)f(x)
f(3x)=f(x)f(x)f(x)
なので、
t=f(x)と置けば、
4t^3-37t^2+41t-8>0
これを因数分解して、tの範囲を求める。
さらに、f(1)=4と増加関数であることからaの範囲を求める。

回答No.2

mister_moonlight

＞こんなん普通には解けないよ～って言われてしまい

その教師も解けなかったんだろう。
面白そうな(3)だけ解いとく。

y＝0を条件式に代入すると、f(x)＝f(x)*f(0)。f(x)≠0　から　f(0)＝1　‥‥(1)
x＋y＝とすると、f(x)*f(-x)＝f(0)　‥‥(2)
(1)と(2)から、f(x)*f(-x)＝f(0)＝1　‥‥　(3)から　f(x)＜0　とすると　f(0)＝1　から　f(x)＜0とはなりえないから、f(x)＞0

y＝2xとすると、f(3x)＝f(x)*f(2x)　‥‥(4)　y＝xとすると、f(2x)＝f(x)＾2　‥‥(5)
(4)と(5)から、f(3x)＝f(x)＾3
(5)から、f(1)＝f(1/2)＾2　、従って、(4)から　f(3/2)＝f(1/2)＾3＝a√a　　但し、a＞0

f(x)＝t t＞0　とすると、条件式は　4t＾3-37t＾2＋41t-8＝(t-1)*(4t-1)*(t-8)＞0　‥‥(6)
条件式を満たすものは指数関数であるから、f(x)＝m＾x　とすると、f(1)＝4から　f(x)＝4＾x　‥‥(7)
(7)を(6)に代入すると、x＞2、-1＜x＜0.

(注)
f(x)が指数関数である事を断定するには　もう少し回り道をしなければならないが、その証明が必要かどうか？

お礼

丁寧な解説、ご回答ありがとうございました！！！！
先に回答いただいた方をベストアンサーとさせていただきます。

お二方ともこんなに分かりやすくご回答いただいて嬉しいです！
そして本当に助かります。
数学苦手だからといって何も解かないわけにいかず、しかし自分で考えていては時間だけが過ぎてしまい・・・

問題はまだまだたくさんあるのですが・・・
もしよければまたよろしくお願い致します。