混合を含む微分

質問

以下の添付画像は参考書に載っていた式の一部です。
この式の導き方を教えていただけないでしょうか。

式を全部書くのは面倒だと思いますので、考え方だけでいいです。
手元の参考書はしらべたのですが、見つかりませんでした。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

#2です。

＞yとxは依存関係がなく、xもyもtの関数です。
とのことでしたので、そうすると以下のようになるのではないかと・・・
d(x^2+ y^2)/dt
＝ d(x^2)/dt+ d(y^2)/dt
＝ dx/dt* d(x^2)/dx+ dy/dt* d(y^2)/dy
＝ 2{ x* dx/dt+ y* dy/dt }

もとの微分されている式が xと yについて対称になっていて、ともに tの関数であれば、
tで微分した結果も対称になるはずですよね。

他に何か条件があるのかもしれませんね。＾＾；

お礼

確認しました。xとyは依存関係が無く、xはtの関数、yはtと関係ありません。これなら成立するようですね。

ご丁寧にありがとうございました。

補足

ううん、条件を間違ったのかなぁ・・・
yがｘの関数でなくｔの関数でもない、なら成立しますかね。
すいません確認しなおします。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

xや yは tの関数なのか、（yは）xの関数なのかがよくわかりませんが、
・xは tの関数：x＝ x(t)
・yは xの関数：y＝ y(x)＝ y(x(t))

であるとおいてみます。

まず、合成関数の微分を考えれば、√(x^2+ y^2)＝ (x^2+ y^2)^(1/2)ですから
(与式)
＝ 1/2* (x^2+ y^2)^(-1/2)* d(x^2+ y^2)/dt

となります。
前の項は -1/2乗ですから分母に√がきますね。
後ろの項については、少し見づらいですが
d(x^2+ y^2)/dt
＝ dx/dt* d(x^2+ y^2)/dx
＝ dx/dt* (2x+ 2y*dy/dx)
＝ 2* (x+ y*dy/dx)* dx/dt

ここの「2」は、元の式にある 1/2と約分されます。
そして、「yは xの関数でない」ならば dy/dx＝ 0となるので、質問の式が与えられます。

このような問題のときには、変数の関係を明確にしないといけませんね。
あと、漢字もしっかり確認してください。（混合→根号）

お礼

おかげさまで理解できました。ありがとうございます。

補足

大変失礼しました。yとxは依存関係がなく、xもyもtの関数です。
根号についても間違えました。

回答No.1

kopanda116

f(x,y) = 1 / sqrt(x^2 + y^2)
と置きますと、

左の式は、

df / dt

と書けますね。

で、微分のチェーンルールから、

df / dt = df / dx * dx / dt

となります。

で、df / dxは

df / dx = x / sqrt(x^2 + y^2)

ですから、右の式と一致しますね。

ということです。

補足

f(x,y) = 1 / sqrt(x^2 + y^2)　←これ、確かでしょうか？
f(x,y) = sqrt(x^2 + y^2)　　　　　ならわかるのですが。