x乗とxのある式の計算です

質問

x+21*(1.05^x)-31=0
のときのxの値はどうやって求めればいいでしょうか。
お願いします。

※ちなみに、この計算式は
Σ[k=0～x-1] (10*(1-(1.05^(k-x))))=100
を展開しました。

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

f(x) = x+21*(1.05^x)-31
の零点なので、Newton 法で試行。

収束は遅いが何とか求まります。
　　x≒4.65082514068

回答No.5

178-tall

>x-21*(1.05^x)-31=0でした。
　　↑
これだと、実数解は無さそう。

お礼

どうやら符号間違っていたようです…。

178-tallさんのやり方を参考にノートとエクセル使って
解くことができました。
ありがとうございました！

今またノートがここにないので
ちょっと確認できないのが申し訳ないのですが。

返事遅くなりまして、大変失礼いたしました。

回答No.4

alice_44

指数関数が混じった、こういう雰囲気の方程式は、
ランベルトの W 関数を使うと何とかなることが多いです。
y e^y = x ⇔ y = W(x) なる関数 W のことを、
ランベルトの W 関数といいます。

x + 21(1.05^x) - 31 = 0 で 31 - x = y と置くと、
21( 1.05^(31 - y) ) = y。すなわち 21(1.05^31) = y 1.05^y。
更に y = z/log(1.05) と置くと、21(1.05^31)log(1.05) = z e^z。
よって、上記の W 関数を使い、z = W( 21(1.05^31)log(1.05) )。
x = 31 - W( 21(1.05^31)log(1.05) ) / log(1.05) です。

W 関数は、初等関数の組み合わせでは表示できないので、
近似値の数表でも使うしかありませんが。

お礼

なるほど！こういう方法もあるんですね！
丁寧な解説、感謝です！

お返事遅くなりまして、大変失礼いたしました。

回答No.3

178-tall

r = 1.05 として、
　 n-1
　　Σ 10*{1 - 1/r^(x-k)} = 10*n - {1 - (1/r^n)}/(r-1)
　 k=0
なのでしょうか？

回答No.2

178-tall

#1 ですが、ミスってました。早い収束でした。

x=21*(1.05^x)-31　の不動点法でも、収束は早いし、こっちのほうが簡単。

お礼

178-tallさん、お早い回答、ありがとうございます！

ニュートン法、不動点法ってなんだっけって感じで、今必死に思い出してるところです。
脳みそやばい＞＜

それと、質問に掲載した式の符号を間違えていたようです。
x-21*(1.05^x)-31=0でした。
せっかくお答えしていただいたのに、申し訳ありません。