2個の質点Ａ，Ｂから構成される剛体があるとします。

質問

質量はＡ，Ｂとも１ｋｇでＡ，Ｂ間の距離は１ｍとします。
質点Ａに１Ｎの外力が軸と垂直に加わった時、質点Ｂにはどのような内力が加わりますか？

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

B には両質点を結ぶ棒から力が加わります。その力の大きさ T を求めてみましょう。ただし、いくつかの仮定が必要です。以下では外力 F は常に一定の大きさと方向を持つとして、その方向（図の右方向）を x 軸の正の方向とします。また、それと直角の、図の上方向を y 軸の正の方向とします。

A, B の質量をそれぞれ m、棒の長さを 2 L、棒の質量を零とすると、重心のまわりの慣性モーメントは
I = 2 m L^2。　(1)
y 軸の正の方向から測った回転角を θ として、時間に関する微分を「'」で表すと、回転運動の方程式は
I θ'' = F L cosθ。
これと(1)から
θ'' = (F L / I) cosθ
　　　= {F / (2 m L)} cosθ。　(2)

(2)の両辺に θ' を掛けて、積分します。
θ' θ'' = {F / (2 m L)} θ' cosθ、
(1/2){(θ')^2}' = {F / (2 m L)} (sinθ)'、
(θ')^2 = {F / (m L)} sinθ。　(3)
(3)を得る際には、初期条件
t = 0 で θ = 0、θ' = 0
より、積分定数が 0 であることを考慮しました。

B の y 方向の速度は
v = L θ' sinθ。
よって、y 方向の加速度は
v' = L (θ'' sinθ + θ' cosθ・θ')。
(2)と(3)を使って、
v' = L [{F / (2 m L)} cosθ sinθ + {F / (m L)} sinθ cosθ]
= {3 F / (2 m)} cosθ sinθ。　(4)

B の y 方向の速度を v とすると、運動方程式より
m v' = T cosθ。　(5)
これと(4)から
T = m v' / cosθ
= (3 F / 2) sinθ。　(6)

結局、T は A, B の質量にも、棒の長さにも依存せず、加えられる力と回転角で決まることがわかります。

F = 1 [N] であれば、T = 1.5 sinθ [N] です。

何となく、もっと簡単な考察から(6)を導けるような気がするのですが・・・。

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なお、上の(5)では棒からの力が棒に平行な方向にのみ働くとしていますが、棒に垂直な方向にも力が働くのではないだろうかという疑問をもたれるかもしれません。この点について調べるために、B の x 方向の運動を考えてみましょう。

B の x 方向の速度を u 、A, B の重心の x 方向の速度を ug とすると
u = ug - L θ' cosθ、
u' = ug' - L (θ'' cosθ - θ' sinθ・θ')。　(7)

ここで、重心の運動方程式より
2 m ug' = F、
ug' = F / (2 m)。　(8)

(7),(8),(2),(3)より
u' = F / (2 m) - L [{F / (2 m L)} (cosθ)^2 - {F / (m L)} (sinθ)^2]
　　= (F / 2 m) {1 - (cosθ)^2 + 2 (sinθ)^2}
　　= (3 F / 2 m) (sinθ)^2。　(9)

(4),(9)より、
(m u') ： (m v') = sinθ ： cosθ。
よって、B に働く力の方向は棒に平行であることが確認できました。
当然ですが、その力の大きさは
T = {(m u')^2 + (m v')^2}^(1/2)
　= (3 F / 2) sinθ。
で、(6)と同じになります。

お礼

回答有難うございます。
お礼が遅くなりまして申し訳ありません。
現時点では十分には理解出来ないので、じっくり勉強します。