極限推移確率行列

質問

P={ {1,0,0,0,0},{0,3/4,1/4,0,0},{0,1/3,2/3,0,0},{1/2,0,0,1/4,1/4},{0,0,1/3,1/3,1/3} }
（↑行列です）

に対する極限推移確率行列P^∞の求め方が分かりません。

具体的に教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

P の固有値と固有ベクトルを調べてみよう。

固有値は 0, 1, 5/12, 7/12 で、この内 1 が重根だが、
固有ベクトルが
0 に対して (0, 0, 0, 1, -1)、
1 に対して (1, 0, 0, 4/5, 2/5) と (0, 1, 1, 1/5,
3/5)、
5/12 に対して (0, 1, -4/3, 8/5, 16/15)、
7/12 に対して (0, 0, 0, 1, 4/3) であり、
合計して次数と同じ５個あるので、P は対角化可能である。

実際、固有ベクトルを列に並べて Q =
0　　 1　　 0　　 0　　 0
0　　 0　　 1　　 1　　 0
0　　 0　　 1　　 -4/3　　 0
1　　4/5　　1/5　　 8/5　　 1
-1　　2/5　　3/5　　16/15　　4/3
と置くと、(Q^-1)PQ は対角行列になり、
対角成分に 0, 1, 1, 5/12, 7/12 が、この順に並ぶ。

D = (Q^-1)PQ と置いて、
P^n = ( QD(Q^-1) )^n = Q(D^n)(Q^-1) より
P^∞ = lim[n→∞] P^n = Q(lim[n→∞] D^n)(Q^-1)。

ただし、lim[n→∞] D^n は
対角成分が 0, 1, 1, 0, 0 の対角行列である。

お礼

ありがとうございます。

応用確率論の教科書だとやり方が違っていましたが、固有値固有ベクトルを用いたほうが簡単ですね。