数学の難しい質問

質問

初項が3,公比が２の等比数列{an}において,10^3<an<10^5を満たすnの値の範囲は■である。また、初項からの和が初めて３００００を超えるのは第■項である。ただし、log10 2=0.3010,log10 3=0,4771とする。

解 数列{an}の初項から第ｎ項までの和は3(2^n-1)
3(2^n-1)>30000とすると 2^n-1>10^4・・・・(1)
ここで、2^n>10^4について両辺の常用対数をとるとnlog10 2>4 よって n>4/log10 2=4/0.3010=13.2・・・・
ゆえに,n>=14のとき2^n>10^4が成り立ち
2^14-1=(2^7+1)(2^7-1)=16383>10^4
2^13-1=1/2(2^14-1)-1/2=8191<10^4
・・・・以下省

教えてほしいところ
2^n>10^4が成り立つ範囲は確かにn>=14と求まったんだからｎ＝14に決まってますよね。
何故、１３代入して確認しているんですか？？
ｎ＝１３である理由と確認する必要がある理由を教えてください。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

4/x が x>0 の範囲では単調減少であることを使って、
0.301 < log10(2) < 0.302 から
13.28 > 4/log10(2) > 13.24 を言ってもよいが、
有効桁数とかの処理に気を遣わなくてはならない。
そういう近似処理のゴタゴタを嫌って、
質問文中のように a14 と a13 を計算してしまうほうが、
話は簡潔で済む。覚えといたほうがよい小技だと思う。

回答No.3

Executione

2^n>10^4
この式で求めたのが、13.2・・・ですが、
元の式は、（1）のように、2^n-1と「-1」だけ小さいので、
念のために、確認しているんじゃないですかねぇ。

回答No.2

noname#185706

>log10 2=0.3010

は近似値ですから、

>2^n>10^4が成り立つ範囲は確かにn>=14と求まった

のは実は「確か」ではなく、「答えはだいたいその辺りにある」ということがわかったと考えるべきなのでしょう。それで、n = 14 と 13 の場合を厳密に確認しているのではないでしょうか。

問題文に

>log10 2=0.3010,log10 3=0,4771とする。

とありはしますが、それは「計算の過程で必要ならそういう近似値を使え」という意味にすぎないのでしょう。

回答No.1

koko_u_u

>何故、１３代入して確認しているんですか？？

問題文に「初めて３００００を超える」とあるから