統計の質問です

質問

n=3、平均μ、分散σ^2＝１の正規母集団から無作為抽出

１. 期待値E（∑(x_i-x.bar)^2）＝？
２. E（∑(x_i-μ)^2）＝？
３. E(x.bar-μ)^2）＝？/？
４.n(x.bar-μ)^2は自由度？のx^2分布にしたがう

どうやって解けばいいのでしょう？解き方も知りたいです。
よろしくお願いします。

回答No.1

ramayana · ベストアンサー

１，２，３は、どうってことのない単純計算です。１だけ示すので、あとはご自分でやってみてください。各xiから定数を引いても結果が変わらないので、μ=0の場合に示せば十分です。このとき、E(xi^2)=σ^2、E(xixj)=0（i≠j）です。

４は、カイ２乗分布の定義をチェックすれば分かります。x.bar-μが平均0、分散σ^2/nの正規分布になることにも留意しましょう。

１の答のn^2倍＝E((nxi - nxbar)^2)

= E((n-1)xi+Σ[j≠i]xj)^2)

= E((n-1)^2xi^2 + 2(n-1)xiΣ[j≠i]xj+(Σ[j≠i]xj)^2))

= E((n-1)^2xi^2 + 2(n-1)xiΣ[j≠i]xj +Σ[j≠i]xj^2) +Σ[j≠i,k≠i,k≠j]xjxk )

= (n-1)^2σ^2 + 0 + (n-1)σ^2 + 0

= n(n-1)σ^2

よって、

１の答＝ ((n-1)/n)σ^2

回答No.2

ramayana

ANo.1です。見落としていました。１は、全体にΣがかかっているのですね。１の答は、(n-1)σ^2です。