スペクトル分解の一意性の証明について
ＴがＶの正規変換であるとき
Ｔの相異なる固有値全部をβ_1,β_2,・・・,β_kとし
対応する固有空間をＷ_1,Ｗ_2,・・・,Ｗ_kとする
Ｗ_iへの射影子をＰ_iとすれば
Ｐ_1+Ｐ_2+・・・+Ｐ_k=I
Ｐ_iＰ_j=0 (i≠j)
Ｔ=β_1Ｐ_1+β_2Ｐ_2+・・・+β_kＰ_k
が成立する。これを正規変換Ｔのスペクトル分解という。
スペクトル分解は一意的である。
実際、射影子Ｐ'_1,Ｐ'_2,・・・,Ｐ'_kによるもうひとつのスペクトル分解
Ｐ'_1+Ｐ'_2+・・・+Ｐ'_k=I
Ｐ'_iＰ'_j=0 (i≠j)
Ｔ=β_1Ｐ'_1+β_2Ｐ'_2+・・・+β_kＰ'_k
があったとしよう。
Ｐ_i,Ｐ'_iがそれぞれ部分空間Ｗ_iＷ'_iへの射影子であるとすれば
ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであるから
Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i
("逆"の証明は略)
と教科書にあったのですが、最後、なぜＷ_i＝Ｗ'_iが言えるのかがわかりません。
ＴのＷ_i,Ｗ'_iへの制限はどちらもスカラー変換β_iＩであることを用いてＷ_i⊂Ｗ'_iかつＷ_i⊃Ｗ'_iを示せるのですか？
Ｗ_i⊃Ｗ'_iのほうに関しては
x'_i∈Ｗ'_iとすると
Ｔ(x'_i)=β_i(x'_i)であるから、x'_iはＴの固有値β_iに対する固有空間Ｗ_iの固有ベクトルであるといえる。よってx'_i∈Ｗ_i
つまりＷ_i⊃Ｗ'_iである。
とできるかな？とは思ったのですが、もう一つが・・・。
Ｗ_i⊃Ｗ'_iであることとＶが直和であることを用いてＷ_i=Ｗ'_iを示せるかな？とも思ったのですが、なんとなくなりそうってだけで、どのように厳密に示せばいいのかよくわかりません。
教科書にもさらっと書いてあるだけですし、おそらく簡単なことなのでしょうが私にはよくわからないです・・。
どなたか
Ｗ_i=Ｗ'_i よってＰ_i=Ｐ'_i
の証明教えていただけないでしょうか。
よろしくお願いいたしますm(_ _)m
