物理系大学の問題です。

質問

物理系大学の問題です。

(1) vT-1/2gT~2 = h
(2) vT+1/2gT~2 = h

この二つの式をそれぞれニュートンの法則を使って導出せよ、
という問題です。
どうしてもわかりません。
わかる方、解説お願いします！！

回答No.1

BookerL · ベストアンサー

「ニュートンの法則」とは、運動方程式　Ｆ＝ｍａ　のことでしょうか。

　前提条件等が書いてありませんが、一定の重力の働くところで物体を鉛直に投げ上げまたは投げおろしたときの話のようですので、その線で。

　記号 ~ は２乗のようですので、以下では ^ で表すことにします。
　ｖ は初速度のようですので、以下では ｖ0 で表すことにし、ｖ は変数としての速度を表すことにします。
　Ｔ は時間のようですので、変数としての時間を ｔ で表すことにします。

　物体の質量を ｍ とすると、重力の大きさは ｍｇ で、これが物体にはたらく力 Ｆ になります。

　ｍｇ＝ｍａ　これより　ｇ＝ａ　

時間 ｔ で積分して

　ｇｔ＋Ｃ1＝ｖ　（Ｃ1 は積分定数）

Ｃ1 は ｔ＝０ のときの ｖ の値なので、初速度 ｖ0 となります。

　ｇｔ＋ｖ0＝ｖ

もう一度 ｔ で積分して

　(1/2)ｇｔ^2 ＋ ｖ0ｔ ＋ Ｃ2 ＝ ｘ　　（Ｃ2 は積分定数）

Ｃ2 は ｔ＝０ のときの ｘ の値で、最初の位置を表します。与えられた式を見ますと、初期位置は ０ のようですので、Ｃ2＝０ となり、

　(1/2)ｇｔ^2 ＋ ｖ0ｔ ＝ ｘ

　問題では、時刻 Ｔ での位置を ｈ で表しているようなので、 ｔ→Ｔ、ｘ→ｈ として

　(1/2)ｇＴ^2 ＋ ｖ0Ｔ ＝ ｈ

　以上です。
　(1)(2)で符号が違っているのは、投げる向きが上向きか下向きか後外でしょう。

お礼

ご回答いただき，ありがとうございました．
回答者様のおっしゃった通り前提条件などが一切なく，
手をつけることのできない課題でした．
参考にさせていただきます．
ありがとうございました．

回答No.2

noname#185706

ニュートンの運動方程式は、力を f、質量を m、加速度を a とすると、
f = m a　（１）
です。

ここで、f として重力をとり、重力加速度の「大きさ」を g（> 0）として、上向きを正の方向とすると、f は - m g と書けます。 負号が付くのは、重力は下向きで、負の方向に働くからです。また、加速度 a は高さ h の時間 t に関する２階導関数 (d/dt)(d/dt) h です。

よって（１）式は次のような２階の常微分方程式になります。
- m g = m (d/dt)(d/dt) h 。
この両辺を m で割ると
- g = (d/dt)(d/dt) h。（２）

ここで g を一定とすると、（２）式は容易に t で積分できて、
- g t + c1 = (d/dt) h 。　（３）
c1 は積分定数です。右辺は速度ですが、 t = 0 で v0 であるとすると、
- 0 + c1 = v0
より
c1 = v0 。
これを（３）式で使うと
v0 - g t = (d/dt) h 。　（４）

この式も容易に t で積分できて、
v0 t - g t^2 / 2 + c2 = h 。　（５）
c2 は積分定数です。 t = 0 で h = 0 とすると、
0 - 0 + c2 = 0
より
c2 = 0 。
これを（５）式で使うと、
v0 t - g t^2 / 2 = h 。　（６）

（６）式は質問文の（１）式に対応するものですが、（１）式では v0 → v、t → T となっています。

質問文の（２）式は、g を重力加速度の「大きさ」ではなく、方向も含めた量と考えた場合の式です。重力加速度の方向は下向きですから、上向きを正の方向とすれば負の値を持つ（g < 0）と考えるのです。その場合には、上の（６）式を導く過程に現れるすべての g の符号を変えて - g と書きなおせばよく、結果的に、
v0 t + g t^2 / 2 = h 。　（７）
が得られます。これは質問文の（２）式に対応します。

速度、加速度などのベクトル量を扱う時には、各ベクトルの向きに注意する必要があります。

お礼

ご回答ありがとうございました．
各ベクトルの向きにも注意して，
手をつけることのできなかった課題にもう一度挑みます．
とても詳しく解説いただき，ありがとうございました．