導線を非常に細くした場合発生するインダクタンス等の増加成分について

質問

導線を非常に細くした場合発生するインダクタンス等の増加成分について
こんにちは
一定長さの導線を非常に細くしていくと、交流、パルスを導通させた場合、単に抵抗成分だけが増加するのでは無く、インダクタンス等の他の成分も増加すると聞きます。この増加成分は何でしょうか？またこの成分の増加は理論的、計算式によって求められるのでしょうか？

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

手元の書籍（http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html）のp.276によれば、半径 a (m)、長さ x (m) の直線状（円柱状）導体の自己インダクタンス L (H) は
　　　L = μ*x/(8*π) + μ0/(2*π)*[ x*log{ ( x + √（a＾2＋x＾2） )/a } - √（a＾2＋x＾2） + a ] --- (1)
だそうです（log は自然対数）。μ0 は真空の透磁率で μ0 = 4*π*10^(-7) = 1.2566×10^(-6) (kg・m/C^2)、μ は導体の透磁率です。非磁性体なら μ = μ 0 になります。x >> a のときは
　　　L ≒ x/(2*π)*[ μ/4 + μ0*{ log( 2*x/a) - 1 } ]
で近似されます。

ただし上式は、導体中に電流が一様に流れている場合のものです。周波数が高くなるほど電流分布が導体表面に偏る「表皮効果」が顕著になって、高周波では当てはまらなくなります（インパルス電流には高周波成分が多く含まれる）。電流が表面のみに分布している場合の自己インダクタンスは、式(1)の第二項（外部インダクタンス）のみの
　　　L = μ0/(2*π)*[ x*log{ ( x + √（a＾2＋x＾2） )/a } - √（a＾2＋x＾2） + a ]
となるそうです。表皮効果によって、電流が流れている部分の等価的な幅（表面からの深さ）δ(m) は、同じ書籍のp.301によれば
　　　δ = √{ 2*ρ/( ω*μ) }
だそうです。f を周波数 (Hz) としたとき ω = 2*π*f です。ρ は導体の抵抗率で、金なら 2.35×10^(-8) Ω・m です。f = 100MHz のとき、金なら δ = 7.7μm 、つまり電流は表面から 7.7μm の深さまでの部分に集中して流れているのと等価になります。

導体を細くすると抵抗も大きくなるので、導体全体のインピーダンス Z は
　　　Z = R + j*ω+L
としなければなりません（ j は虚数）。R （Ω）は
　　　R = ρ*x/(π*a^2)
で計算できます。これも表皮効果を考慮した場合には
　　　R = ρ*x/{ π*a^2 - π*( a - δ )^2 } = ρ*x/{ π*δ*( 2*a - δ ) }
となります。

添付図は x = 1cm のときのインダクタンスと抵抗の計算結果です。インダクタンスは表皮効果の影響はあまりないですが、抵抗はかなり変わっています（微小電流なら抵抗値はあまり関係ないもかもしれませんが）。

そもそも直線導体では大きなインダクタンスは得られません（nH オーダ）。コイル状にして巻き数を多くすれば、巻き数の2乗に比例したインダクタンスが得られますが、空芯コイルではやはり限界があります。高周波特性に気をつけなければなりませんが、強磁性体をコアとすればさらに比透磁率倍されます（インダクタは難しいですね）。

補足

毎々、ご回答頂きまして、本当にお世話になっております。

＞手元の書籍（http://www.kyoritsu-pub.co.jp/sankosyo/contents/03022-2.html）
この本は、大変評判の良い素晴らしい本のようですね。以前から名前だけは存じておりました。
この本を１冊購入するように致します。実は、質問をする前に調べようと
思っているのですが、まず何のどこを見たら良いのか？そこが解りませんでした。

＞ただし上式は、導体中に電流が一様に流れている場合のものです。周波数が高くなる
＞ほど電流分布が導体表面に偏る「表皮効果」が顕著になって、高周波では当てはまら
＞なくなります（インパルス電流には高周波成分が多く含まれる）。電流が表面のみに
＞分布している場合の自己インダクタンスは、式(1)の第二項（外部インダクタンス）
＞のみの
＞　　　L = μ0/(2*π)*[ x*log{ ( x + √（a＾2＋x＾2） )/a } - √（a＾2＋x＾2） + a ]
＞となるそうです。
お詳しいご説明有難う御座います。この式を見ますと、周波数に関わる変数が
無いように見えます。なぜで御座いましょうか？

＞f = 100MHz のとき、金なら δ = 7.7μm 、つまり電流は表面から 7.7μm の深さ
＞までの部分に集中して流れているのと等価になります。
インパルス電流には高周波成分が多く含まれますが、この場合の計算は大変
複雑になるのでしょうね。

＞高周波特性に気をつけなければなりませんが、強磁性体をコアとすればさらに比透磁率
＞倍されます（インダクタは難しいですね）。
その通りで御座います。
今考えておりますのは、可能な限り薄くした金に、可能な限りの電圧を印加させたいと
思っております。（但し実際に製作しません。計算だけをしたいです。）従いまして、
コイルにしますと、厚みが増えますので、出来れば、薄くするだけにしたいです。
無理難題申しまして恐れ入ります。m(_._)m

＞また、コッククロフト・ウォルトン回路につきましては、加速器に関する別の新しい
＞質問をして、物理関連の人に教えてもらうように致します。
以前、上記のお礼を書きました。申し訳ございません。読み方次第で、誤解を
招く書き方で御座いました。inara１様は多分電気・電子屋様なので、加速器に関する
ことは一般的に素粒子物理屋さんの分野なので、わざわざ調べてご回答頂くのは申し訳
ないと思い、書きました。お気を悪くなされたかもしれませんので、お詫び致します。
m(_._)m

回答No.7

tance

再度tanceです。

金線の両端に高い電圧をかけても流れる電流を微少にしたい、という
ことですね。

これに必要なことは極めて単純なことです。直流から高周波まで
基本的にはΩの法則以外にないので、
(印加したい電圧) / (流れる電流)　に相当する抵抗（インピーダンス）を
金線に持たせるしか方法はありません。

希望の電圧、電流から、必要なインピーダンスを求めて、それを
どうやって実現するかを考えるわけです。

直流だと、最も単純であり、断面積を減らすか長さを長くするか
温度を上げるかしかありません。これらはどこが限界か、計算
すればすぐに結果がでます。希望する電圧電流にもよるので
この方法が有効かどうかは私には判断できませんが、原理は
これだけです。

交流だと、もう少し選択肢が増えます。
線を細くする（直流抵抗を低くし、表面積を狭くする）
長くする
周波数を高くする
コイル状にしてインダクタンスを大きくする
コアを使ってインダクタンスを大きくする

コイルを巻くなら長岡係数でインダクタンスを計算でき、
周波数を決めればA点～B点間の電圧と電流が計算できます。

やはり、ここから先は具体的な電圧と電流の希望値を
元にしないと話が進みません。

高い電圧とは5Vのことで、微少電流とは1mA程度のことなら
実現はできると思いますが、
高い電圧が1000Vで微少電流が1μAとなると、まず何をどう
頑張っても実現は無理でしょう。

お礼

＞金1mm当たりに、5*10＾12（V）を印加する方法を考案したいです。
１つの方法としまして、雷雲では１～10億V（＝10＾９V）あるようなので
飛行機のスタティック・ディスチャージャーという針の先端を、金で超細くして作り
直撃雷を受ければ、場合によっては印加できるのでは（？）とか考えております。

補足

お返事有難う御座います。

＞コイルを巻くなら長岡係数でインダクタンスを計算でき、
＞周波数を決めればA点～B点間の電圧と電流が計算できます。
その通りで御座います。
＞やはり、ここから先は具体的な電圧と電流の希望値を
＞元にしないと話が進みません。
その通りで御座います。ここでの質問“導線を非常に細くした
場合発生するインダクタンス等の増加成分について“に
つきましては、ご回答頂き、かなり解りました。

ここから先の質問は次の通りです。
金1mm当たりに、5*10＾12（V）を印加したいのですが、どのような方法があるのでしょうか？電流は少ない程良いです。
その際、金は10＾(-4)mmまで薄く出来ますので、この場合は5*10＾8（V）の印加になります。
また長さ10mmにしますと、5*10＾13（V）になります。
普通に考えれば、無理なように思えますが、何とか工夫とか細工とかして、理論的に
金1mm当たりに、5*10＾12（V）を印加する方法を考案したいです。

何卒よろしくお願い致します。（最初の話題と変わりますので、一旦締めた方が良いでしょうか？）

回答No.6

inara1

＞長岡って、ひよっとして、原子模型の半太郎さん？
同一人物ですね（http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%95%B7%E5%B2%A1%E5%8D%8A%E5%A4%AA%E9%83%8E）。知りませんでした。100年前にこんな計算ができるなんてすごいです。

＞mathematicaで計算しました
高価な mathematica をお持ちですか。私は安価な MapleV(Student Version) です。 Mapleでも同じ結果が得られました。

お礼

ここでの質問“導線を非常に細くした場合発生するインダクタンス等の増加成分について“に
つきましては、ご回答頂き、かなり解りました。ここで一旦締めさせて頂きます。

補足

お返事有難う御座います。
＞私は安価な MapleV(Student Version) です。
＞Mapleでも同じ結果が得られました。
計算をご確認頂きまして有難う御座います。
後は、インダクタンスと抵抗の計算結果をLTspiceのコイルに代入して
RUNさせれば、どの位の電圧がコイルで発生するのか？解るのですね。

＞知りませんでした。100年前にこんな計算ができるなんてすごいです。
本で、半太郎さんは、ものすごい怖い先生であったと読んだ記憶があります。
怖いと言えば、最近ノーベル賞を受賞された小柴さんも、好々爺に見えますが
むちゃくちゃ怖い人らしいです。（すいません。関係ない話ですが、、、）

回答No.5

inara1

＞この本を１冊購入するように致します
この本はいいです（このサイトの電磁気問題はたいていこれに載ってます）。空芯コイルの長岡係数の計算法まで出ています。

＞周波数に関わる変数が無い
これは δ → 0 とした極限（電流が表面に集中している）場合です。導体内部の電流密度の大きさ J は、導体中心からの距離を r としたとき
　　　J = J0*√(a/r)*exp{ -( a - r )*√( π*f*μ/ρ) } --- (2)
となるそうです（p.301）。√( π*f*μ/ρ) が大きいほど電流分布が表面に集まってきます。これを使ってインダクタンスを計算することは可能ですが、その結果は、電流分布が一様な場合と表面のみの場合の間になるはず。

＞インパルス電流には高周波成分が多く
式(2)は電流密度の「大きさ」ですが、「位相」も周波数依存があるのでややこしいです。インダクタと高周波の世界は難解です。

＞可能な限り薄くした金に、可能な限りの電圧を印加させたい
そういうことですか。

＞お気を悪くなされたかもしれません
回答できない質問は黙っているだけで気を悪くしたわけではありません。コッククロフト・ウォルトン回路はカメラのフラッシュに使われていますが、加速器は別の方法なんですね。私は高電圧の経験と知識が乏しいのですが tance さんはお詳しそうですね。

補足

いつもお世話になっております。
＞この本はいいです（このサイトの電磁気問題はたいていこれに載ってます）。
早速、amazonで購入手続きをしました。明日には届くかもしれません。
＞空芯コイルの長岡係数の計算法まで出ています。
長岡係数というのは初めて聞きます。長岡って、ひよっとして、原子模型の半太郎
さんかもしれませんね。別人かな？
＞その結果は、電流分布が一様な場合と表面のみの場合の間になるはず。
了解致しました。
＞式(2)は電流密度の「大きさ」ですが、「位相」も周波数依存があるのでややこしいです。
＞インダクタと高周波の世界は難解です。
了解致しました。とりあえず計算してみます。追々、難しさを体感するかもしれません。

＞回答できない質問は黙っているだけで気を悪くしたわけではありません。
了解致しました。今後とも、よろしくご指導の程、お願い致します。

下記の通り、mathematicaで計算しました。まず、inara1様の結果と
一致しているでしょうか？ご確認頂きましたら幸いです。

Print["材質：金,f=100MHz,表皮効果あり,x=1cm"];
x=10*10^(-3);
m0=4*p*10^(-7);
r=2.35×10^(-8);
f=100*10^6;
w = 2*p*f;
d = Sqrt[2*r/(w*m0)];
Print["d=",d*10^6"mm"];

For[s=1,s<=5,s++,
a=s*10^(-3);
L=N[m0/(2*p)*(x*Log[(x+Sqrt[a^2+x^2])/a]-Sqrt[a^2+x^2]+a)];
R= r*x/(p*d*(2*a-d));
Z = R+I*w*L;
Print["a=",N[a*1000],"mmの場合,L=",L*10^9,"nH,R=",R*10^3,"mW,Z=",Z];
];
材質：金,f=100MHz,表皮効果あり,x=1cm
d= 7.71532 mm
a= 1. mmの場合,L= 4.18647 nH,R= 4.86645 mW,Z= 0.00486645 +2.63044 j
a= 2. mmの場合,L= 2.98527 nH,R= 2.42852 mW,Z= 0.00242852 +1.8757 j
a= 3. mmの場合,L= 2.34973 nH,R= 1.61797 mW,Z= 0.00161797 +1.47638 j
a= 4. mmの場合,L= 1.9404 nH,R= 1.21309 mW,Z= 0.00121309 +1.21919 j
a= 5. mmの場合,L= 1.6512 nH,R= 0.970285 mW,Z= 0.000970285 +1.03748 j

回答No.4

tance

tanceです。

導線の途中に細い金線があって、高い電圧を印加しても電流を少なくしたい
という目的でインダクタンスを大きくしたい、ということでしょうか。

そうだとして、A点～B点間の電圧を高くしたいのでしょうか。

基本的にインダクタンスを大きくしたいというのは理にかなっていると思います。

他の方法として、電圧の印加時間を短くするという手もありますが、長さ1cmでは
相当短いパルスになってしまい、両端の導線の部分を工夫しないとうまく
いかないでしょう。

インダクタンスを大きくするには比透磁率を大きくするか、コイル状に線を
巻くか、両方行うのが最も効果的です。

わずか1cmなので巻くことはできないのでしょうね。もし電球のフィラメントの
ような（もしくはカールコードのような）形状の線を、1cm金線の代わりに
使えるならそれなりに効きます。（線を細くするよりずっと効果的）

またはフェライトビーズという磁性体のドーナツ状のものを金線に通すと
インダクタンスを大きくできます。

線を細くしてもインダクタンスを大きくする効果は、前回のサイトのデータ程度
です。それよりビーズを入れる方が効くと思います。

具体的目的が解らないのでおかしなことを言うかもしれませんが、
１．A点～B点間の電圧を大きくしたい。
２．A点～B点間は金線を使いたい。
３．A点～B点間に流れる電流をできるだけ少なくしたい。

単純にこれらをほぼ完璧に満たす方法は、導線と金線をつながないことです。
何らかの絶縁体で金線を保持し、導通させなければ、絶縁耐圧まで電圧を
上げても電流はほぼ０です。

当然これでは意味がないのでしょうね。

補足

お返事有難う御座います。

＞具体的目的が解らないのでおかしなことを言うかもしれませんが、
とんでも御座いません。大変興味深いお話です。
要するに、金に可能な限り、高い電圧を印加する。まさに目的は単純です。

＞単純にこれらをほぼ完璧に満たす方法は、導線と金線をつながないことです。
＞何らかの絶縁体で金線を保持し、導通させなければ、絶縁耐圧まで電圧を
＞上げても電流はほぼ０です。
すいません。教えて下さい。
この状態で、金に高電圧は印加されるのでしょうか？電流はほぼゼロでも構いません。
金自体に高電圧さえ印加することが出来れば、それで目的は達成されます。
是非、ご教示願います。

回答No.2

tance

インダクタンスは並列にすると減少します。同じインダクタを２つ並列に
するとトータルのインダクタンスは半分になります。

太い線というのは細い線を多数束ねたものと考えると、インダクタンスの
並列接続としての動作で説明できます。

ただし、実際はそんなに単純ではありません。

自己インダクタンスを問題にするときは常に磁界の分布を考えないと
とんでもない間違いを犯します。

実際、同じ長さの細い線をn本束ねると、インダクタンスは1/nになるかと
いうと、少し減少する程度です。これは電流が流れる場所が面状に分布
するからです。線のある部分（たとえば、センター部分）が出した
磁力線は線全体と交叉しますが、センターに近い部分と遠い部分では
その影響が異なります。（遠い部分の交叉磁力線はセンター付近部分に
比べると少ない）

インダクタンスの並列接続でインダクタンスが反比例するのは、お互いに
磁界の及ばない場所にあるときに限ります。

ちょっと解りにくいかもしれませんが、自己インダクタンスと言っても
細かく見ると相互インダクタンスの要素もあるのです。

特に高周波やパルスは表皮効果で電流が線の外周部に集中するので
線が太いときには、磁界が相互に影響しにくい傾向になり、並列接続に
ちかくなります。

さらに、「直線」のインダクタンスは定義が非常に難しく、よほど気を
つけないと無意味な議論や計算に陥ります。

電流は必ずループを作り、出て行ったところへ戻って来てはじめて
電流として成り立ちます。ただの直線だけでは戻り電流が定義できない
ので、どうしても無限長だとか理想GNDだとかという非現実的なものを
前提とした理屈や式になってしまいます。その結果、直線状の導体の
インダクタンスを求める式はいろいろあって、どれも一長一短の
ようです。（なかなか現実と合わない）

参考URLに面白いシミュレーション結果が載っていますので参考にして
ください。

参考URL：

http://210.155.219.234/Wire-X2.htm

補足

ご丁寧な回答有難う御座います。

＞太い線というのは細い線を多数束ねたものと考えると、インダクタンスの
＞並列接続としての動作で説明できます。
その通りで御座います。この点は理解出来ます。

＞線のある部分（たとえば、センター部分）が出した
＞磁力線は線全体と交叉しますが、センターに近い部分と遠い部分では
＞その影響が異なります。（遠い部分の交叉磁力線はセンター付近部分に
＞比べると少ない）
図で理解しないと難いお話ですが、ご説明は何とか解ります。

＞インダクタンスの並列接続でインダクタンスが反比例するのは、お互いに
＞磁界の及ばない場所にあるときに限ります。
＞ちょっと解りにくいかもしれませんが、自己インダクタンスと言っても
＞細かく見ると相互インダクタンスの要素もあるのです。
了解しました。

＞特に高周波やパルスは表皮効果で電流が線の外周部に集中するので
＞線が太いときには、磁界が相互に影響しにくい傾向になり、並列接続に
＞ちかくなります。
成るほど、了解しました。

＞さらに、「直線」のインダクタンスは定義が非常に難しく、よほど気を
＞つけないと無意味な議論や計算に陥ります。
了解しました。

＞その結果、直線状の導体のインダクタンスを求める式はいろいろあって、
＞どれも一長一短のようです。（なかなか現実と合わない）
そうで御座いますか。
例えば、ある点からA点まで銅線で、
A点からB点まで（長さ：１ｃｍ、材質：金）、
B点から別のある点までは銅線とします。
その際A点からB点間（長さ：１ｃｍ、材質：金）の直径を、５ｍｍから
０． １ｍｍの単位で細くした場合のインダクタンスの値を計算するには、
どのような式が御座いますでしょうか？

＞参考URLに面白いシミュレーション結果が載っていますので参考にして
＞ください。
これらは、インダクタンスを下げるために行う工夫なのですね。私は
逆にインダクタンスを可能な限り上げたいと思っております。
つまりインパルス的な高電圧を使用し、導線を可能な限り細くして生じた
誘導電圧成分を利用して、可能な限りの高電圧、微小電流を導線に印加したいです。

ご教示よろしくお願い致します。

回答No.1

178-tall

導線のインダクタンスが気になるのが、高周波領域の配線などですね。

その場合は、ストリップラインのモデルがよく用いられます。
　　　↓ 参考 URL
>4.2　基板パターン線路の特性インピーダンス

線路の特性インピーダンス Zo は、線路のインダクタンス L をキャパシタンス C で割った (L/C) の平方根。
L*C の平方根の逆数は媒質定数ですから、両者は反比例関係。
…という色眼鏡で眺めると、Zo は配線パターン幅 W が減ると増大しているのがわかります。

参考URL：

http://www.geocities.jp/rfpagejp/tokusei-z.htm#pban-z

補足

毎々ご教示頂きまして有難う御座います。
基板パターン線路のインピーダンスを求める計算式で御座いますね。
高周波を扱う基板を設計する際はこのようなことを考慮する必要がありのですね。

説明不足で大変申し訳御座いません。

例えば、ある点からA点まで銅線で、
A点からB点まで（長さ：１ｃｍ、材質：金）、
B点から別のある点までは銅線とします。

その際A点からB点間（長さ：１ｃｍ、材質：金）の直径を、５ｍｍから
０．１ｍｍの単位で細くした場合のインダクタンスの値を計算したいです。
この場合のインダクタンスの値を計算する式は御座いますでしょうか？

目的は、インパルス的な高電圧を使用し、導線を可能な限り細くして生じた
誘導電圧成分を利用して、可能な限りの高電圧、微小電流を導線に印加したいです。

何卒よろしくご指導願います。