この問題の２番はぜんぜんわかりません。 おしえていただけないでしょうか

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この問題の２番はぜんぜんわかりません。　おしえていただけないでしょうか

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

けっこういい加減だけど、答えはあっている（はず・・・）。
検算なし。

(1)
求める確率
=　t=kΔtまでは成功しない確率
=　k回連続失敗する確率
=　 (1-p)^k
=　 (1-λΔt)^k

(2)
tは制限時間だと考えます。
k→∞ということは、制限時間内の試行回数をどんどん増やすということです。
それは、同時に、Δｔ→0、つまり、一回の試行にかかる時間を短くするということでもあります。
当然、制限時間が一定の下、試行回数を増やせば、制限時間内に成功する確率は増えます。
その時、「初めて成功する時間Xが、X<tとなる確率、つまり、制限時間内に成功しない確率を求めよ」というのがこの問いです。

このとき注意することは、k→∞の時、p=λΔt=λt/k、となっていて、確率p自体も変化するということです。
なので、定数であるのはλ(とt)だけです。

(1)の確率をP(k)とする。

P(k)
=(1-λΔt)^k
=(1-λΔt)^{t/Δt}

-λΔt=hとおけばΔ→0⇒h→0。

P(k)=(1+h)^{-tλ/h}→exp(-tλ),(k→∞).

(3)
Pr[X≦t]=1-Pr[X<t]=1-exp(-λt)=int[0,t]λexp(-λs)ds.

求める確率密度関数は、λexp(-λt)。

(4)
φ(θ)
=E[exp(iθX)]
=int[0,∞]λexp(iθt-λt)dt
=-λ/(iθ-λ)

φ'(θ)=iλ/(iθ-λ)^2.
φ"(θ)=2λ/(iθ-λ)^3.

φ'(0)=i/λ
φ"(0)=-2/λ^2.

φ'(θ)=iE[Xexp(iθX)]
φ"(θ)=-E[X^2exp(iθX)]

φ'(0)=iE[X]
φ"(0)=-E[X^2]

E[X]=-iφ'(0)=1/λ.
V[X]=-φ"(0)+[φ'(0)]^2=2/λ^2-/λ^2=1/λ^2.