楕円の半径の求め方

質問

長軸、短軸、傾きが判っている楕円形の任意の角度の半径を求める式をさがしております。

長軸をａ、短軸をｂ、傾きはとりあえず０°の半径があったとき、たとえば傾き30°方向の半径を求めるにはどのようにすれば求まるのでしょうか？

どなたかご教授頂けると非常に助かります。

回答No.5

staratras · ベストアンサー

ご質問の趣旨は、添付した図のように楕円の中心が原点Oと、楕円の長軸・短軸がx軸・y軸とそれぞれ一致するように座標軸をとり、原点を通りx軸となす角がθの直線と楕円の交点をP、QとするときOPの長さを求めたいというように理解してよろしいでしょうか。

ここでは長軸とx軸が一致するような横長の楕円を考えてみました。（グラフはa=3,b=2でθ=30度の場合です）

楕円の式は　(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 …（１）ただしa>b
原点を通りx軸となす角がθの直線の式は、θ=が90度の奇数倍のときを除いて
　　　　　　y=xtanθ　…（２）

（２）を（１）へ代入してx^2,y^2についてとくと（以下tan^2θは(tanθ)^2の意味です）

x^2=a^2b^2/(a^2tan^2θ+b^2)
y^2=a^2b^2tan^2θ/(a^2tan^2θ+b^2)

したがって求める楕円の半径（？）OPは
OP=√(x^2+y^2)
=√(a^2b^2(1+tan^θ）/(a^2tan^2θ+b^2)

1+tan^2θ=1/cos^2θやtanθ=sinθ/cosθを代入して整理すれば

OP=ab/√（a^2sin^2θ+b^2cos^2θ）　…（３）

θ=30度ならばOP=2ab/√(a^2+3b^2)

なおθが90度の奇数倍のときは直線の式の（２）は成り立ちませんが、
OPは楕円の短半径bとなり、OPの式（３）はこの場合も正しい結果を与えます。

お礼

図まで入った丁寧なご説明ありがとうございます！

式の丸暗記のみではなく、導出についても勉強させて頂きます。

回答No.6

Har-mo-nize

ANo.3です。
＞(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)の式で、θはこの場合、何を示す変数でしょうか？
楕円上の点Q(acosθ,bsinθ)とします。
楕円を短軸方向にa/b倍に拡大すると半径aの円になりますが、点Qは円上の点P(acosθ,asinθ)に移動します。楕円の中心を点OとするとθはOPと長軸がなす角になります。
下記URLの(2)にこの関係を表した図がありますので、併せてご覧になるとよいと思います。
http://www.cfv21.com/math/quadcvparam.htm

回答No.4

mb4808

中心を極として、長軸を０°、短軸を９０°とする楕円の極方程式は
　ｒ＝ab/√(b^2+(a^2-b^2)sin＾2(ｔ))　
ただし、tは角度、 rは半径です。

お礼

回答ありがとうございます。

No.3のHar-mo-nizeさまの式とも併せ、計算結果が同じになることを確認しました。

おかげさまで作業が前に進んでおります。大変助かりました。

回答No.3

Har-mo-nize

中心が原点にあって長軸がx軸上にある楕円上の点は、媒介変数を使って
(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)
の2通りに表せます。このときφが求めたい「半径」の方向でrがその「半径」になります。
この関係から媒介変数θを消去して「半径」を求める式が得られます。
r=ab/√{a^2(sinφ)^2+b^2(cosφ)^2}　　　（∵r=acosθ/cosφ, cosθ=b/√{b^2+a^2(tanφ)^2}　）

お礼

回答ありがとうございます。
No.4のMB4808さまの式と合わせて、計算結果は同じになる事を確認しました。

飲み込みが悪くて恐縮ですが、冒頭の
(acosθ,bsinθ)=(rcosφ,rsinφ)
の式で、θはこの場合、何を示す変数でしょうか？

回答No.2

sak_sak

30°方向の半径を出すのに
#1の方の回答の式のθに30°を代入するとおかしなことになります。
逆三角関数が必要になります。

お礼

ご指摘ありがとうございます。

回答No.1

DJ-Potato

長軸方向を0°として、
x = a・cosθ
y = b・sinθ

r^2 = x^2 + y^2

ですね。

お礼

早速の回答ありがとうございました。
参考にさせて頂きます。