ＸＹ軸に関して回転する平面楕円の簡易計算式

質問

ＸＹ軸に関してθ°回転した楕円の方程式を求めるときに、
因数分解した形での簡単な楕円の方程式が出せないので、
ご教授をお願いします。

ちなみに、回転角度をθ、sin、cosを使っての計算をよろしくお願いします。

回答No.3

mis_take · ベストアンサー

楕円の基本形は x^2/a^2+y^2/b^2=1 で因数分解できません。
双曲線は x^2/a^2-y^2/b^2=1 で (x/a+y/b)(x/a-y/b)=1 と因数分解できます。
因数分解できるかどうかは回転によって不変の性質です。
ですから，ご質問の件は不可能です。

ちなみに，２次式 ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0 で表される曲線は判別式 D=b^2-4ac によって，次のように分類できます。
D=0 → ２次の項が平方完成できる → 放物線（または平行な２直線）
D>0 → ２次の項が因数分解できる → 双曲線（または交わる２直線）
D<0 → ２次の項が因数分解できない → 楕円（円を含む，または空）

回答No.2

noname#29127

オイラーの公式より回転行列は
E cosθ + J sinθ ---(1)
で表され、2x2の行列の場合、
E : 単位行列 (1 0, 0 1), J: 虚数行列(0 -1, 1 0)です。
注）上で","は次の行に移動を表します。こちらで勝手に作った表記です。

(1)は
(cosθ -sinθ, sinθ cosθ)となり、x,yの回転は

(x', y') = (cosθ -sinθ, sinθ cosθ)(x, y)
となります。

上の式を変形して
(x, y )=の形にして、楕円の式に入れるというのはいかがでしょうか？

回答No.1

Kules

XY軸？XY平面の間違いですか？
XY平面に関してなら行列の一次変換を用いればいいです。
X軸周りの回転などを考えたいのであれば３次の正方行列において
同じように一次変換(回転に関与しない行列成分を０
とする)で求まると思いますが…
これで答えになってますかね？