あくまでも、一般的な「証拠保全」という場合のみで回答しますと、以前働いていた会社での未払い賃金請求訴訟の際、証拠保全が必要になりそうになりました。（結果的にはしていません）
その際、弁護士が言うには、依頼人（＝私）にも是非立ち会って欲しいとの事でした。理由は、証拠の所在を知っているからとのこと。ですので、立ち会うことは可能だと思います。
証拠保全の注意事項という程ではありませんが、診察記録（いわゆるカルテ）の管理は病院によって様々ですので、早めに証拠保全された方が良いと思います。私が勤務する医療法人の場合ですと、１年以内に診察した患者のカルテは受付の後ろの棚にありますが、１年以上診察していない患者のカルテや使うことがないと思われるページに関しては倉庫に移動になります。５年で保管の期限が過ぎますので、毎年一度、５月頃に業者を呼んで処分しています。
私が勤務するところの場合は、後で「もめそうな」ケースの場合は５年以上（場合によっては「永久保存」と書いて）保管しますが、病院によっては５年できっちり処分したり、場合によってはそれよりも短い期間で処分することもあります。また、色々な科を受診されている場合、カルテがたらい回し状態になり、気付けばなくなっていると言うこともあり得ます。（実際、今のところは全て後から出てきていますが院内で紛失することがまれにあります。）
なお、カルテも最近は電子化が進んでいますので、電子カルテに置き換わってデータ化されている場合もありますのでご注意下さい。
補足
医療過誤事案を受任した弁護士が、「今回、証拠保全時において、依頼人の方の立ち会いはありません」と依頼人に言って、依頼人を立ち会わせなかったという話を聞いたことがあります。 そういったものなのかなと思ったり、もしかして、病院とグルなのかなと思ったりしておりまして、一般的には証拠保全の立ち会いをするものかどうか知りたいと思って質問させて頂いた次第です。