微分の真偽について

質問

関数f(x)がlim x→＋∞ f'(x)=0をみたすなら、x→＋∞のときf(x)は有限の値に収束するか、真偽を証明つきで教えてください。偽のときは反例もお願いします。
あと、関数f(x)がx＞０のとき、つねにf'(x)＞０をみたすなら、lim x→+∞ f(x)=＋∞であるかどうか、真偽を証明つきでお願いします。
どうしても謎なのでお願いします。

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

前半は f(x)=log x や f(x)=√x などの反例があるので偽，後半は f(x)=-1/x や f(x)=-e^(-x) などの反例があるので偽のようです。

前半はひっかかってしまいそうですが，後半の「（狭義）単調増加でもその先の極限まではわからない」ことは重要事項ですよね。
「ただ一つの実数解がある」ことの証明の際，グラフの単調性により「多くとも１つしかない」ことを示す以外に「少なくとも１つある」ことを示さなければならないのも，その性質（不確かさ）のためです。

回答No.1

liar_adan

どっちも成り立たないでしょう。
前者、f(x) = log(x)を考えてみてください。
後者、f(x) = -e^(-x)を考えてみてください。