自然数の加数分解の最大積

質問

自然数を加数分解する。
例えば、５＝1＋２＋２、５＝２＋３というように。
自然数を加数分解したとき、その因数どうしの積が最大になるのはどのように加数分解した時か。

回答No.9

noname#108554 · ベストアンサー

どんな回答が来るか楽しみにしてましたが、なかなか面白いですね。

ぜんぜん証明にはなってませんが、雰囲気だけ：
自然数aをn個に等分割します。
かけ合わせると(a/n)^n
これが最大になるようにnを決めると、n=a/e
つまり、a/nがだいたいeになるように自然数を分割するのが
効率がいいことになります。

eにもっとも近い自然数は3なので、
可能な限り3が多くなるように分割し、
残りは2にする(ただし、1は出ないように)と、いうわけです。

厳密な証明は・・・どうするんでしょう？

お礼

厳密な証明は他人を説得するには必要ですが、自分で満足する分には、雰囲気が一番。
　素敵な解答有難うございます。

回答No.8

seven_triton

＃７さんのおっしゃるとおりです。素晴らしい。
したがって，＃６は撤回させてください。ojamanboさん，申し訳ありませんでした。

回答No.7

kony0

元の自然数をｎとしたときに、
n=2x+3y(x,yは負でない整数）の解のうち、yが最も大きいものを求めて、
「２がｘ個、３がｙ個」というのが正解と思います。

まず、４以上の整数ｍがあったとき、
ｍを２＋（ｍ－２）に分けることを考えます。
このとき、２×（ｍ－２）≧ｍなので、４以上の数は、２と「残り」の和に分けたほうがよい。
（４を２＋２に分けるかどうかは、本質的にはどうでもいいのですが、どうでもいいのでここでは分けることにしましょう）

すると、１，２，３の組み合わせにするのがよいことがわかります。

あとは、１は使わないほうがよいのは明らか。（１×ｍ＜（ｍ＋１）ですからね）

２×２×２＜３×３なので、２が３つあれば、３を２つにしたほうがよい。

これって、数学オリンピックの国内予選問題かなにかじゃないですっけ？

お礼

有難うございます。
ただいま５４歳の自由人です。
頭の体操に自作し、考えてたらどうしても自信の持てる解答に到達せず、質問した次第です。皆さんがはまってくれたという意味で、良問であったと自己満足してます。
帰納的に考えていったら、３がキーになるかなと私も思っていました。

回答No.6

seven_triton

＞できるだけ３を使う。

申し訳ないですが，それはないですよ。
もっと大きな数で考えれば。

難しいですねえ。
もう少しです。

回答No.5

noname#24477

３が境目になるようです。
１まで分解したら積は１になってしまいます。
５は３＋２にするほうがよい。
６は３＋３が１番いい。
７は３＋４
８＝３＋３＋２　が２＋２＋２＋２よりいい。

４は２＋２にしても同じで３＋１にするのは効率が悪い

ということは
３に分割していって、４が残ったらそのまま（２＋２でもよい）
それ以外はできるだけ３を使う。

回答No.4

ONEONE

♯1さんに申し訳ないんですけど。
私は解法を思いついたわけではありませんが。
１０の場合２＋２＋２＋２＋２または４＋４＋２にすると
２^5＝３２となってしまいます。

また９のときも３＋３＋３で分けると４＋５で分けたときより大きくなってしまいます。

こりゃ難問ですね。

回答No.3

seven_triton

＃１さんの方法は，なんとなくそんな気がしますが，やっぱり違いますね。20よりもっと小さな数で反例があります。8=4+4とするより8=3+3+2と分解した方がいいとか。
全然回答になってませんが。
今から考えてみます。

回答No.2

mmky

追伸
＃１の方法だと数として20ぐらいまでしか通用しないですね。20以上は10で分割する方法がいいですね。ごめん。

回答No.1

mmky

参考程度に

Nが偶数のときは、N=N/2+N/2,
K=(N/2)＾2
Nが奇数のときは、N=(N-1)/2+{(N-1)/2}+1
K={(N-1)/2}{{(N-1)/2}+1}
が積が最大になりませんか。
積の場合は自然数を大きな数で分割するのが方法ですね。2個に分割するのが最大値が得られますね。
4の場合だと2＾2=4
5の場合だと2*3=6
10の場合だと5＾2=25
というようになるのかな。