超難問

質問

テスト期間中に過去問を集めていたらこんな問題がありました。
超難問(1)
面積１の正方形が３つある。それらを計６つに切り分けて、その全切片を組み合わせ、面積３の正方形を作りなさい。
超難問(2)
最下位桁にある９という数字を、最上位桁に移動すると、元の9倍になる最小の整数を求めよ。(つまり全体が(n+1)桁のとき「９・１０^n＋Ａ＝９(１０Ａ＋９)」という意味)

５，６年前のの京大の1回生の情報の過去問です。
もし1問でも正解したら本試験の出来にかかわらず１００点にしてくれたらしいです(笑)
暇なときに回答お願いします。

回答No.3

alice_38

ああ、しまった。
もう一回、厭きずに漸化しとくんだった。
すぐ次で 10~22 ≡ -1 が出るから、
n = 21+22。 アホやな…

回答No.2

alice_38

(1)は、真に難問だと思う。

(2)は、mod について少しかじった人なら
解ける程度の問題。
かなりの正解率だったのでは？

質問文中の式を変形して、
9(10~n - 9) = 89A。
89 が素数だから、A は 9 で割り切れる。
よって、mod 89 で、10~n ≡ 9。
そのような n を求める。

10~2 ≡ 100 ≡ 11,
10~3 ≡ 11×10 ≡ 100+10 ≡ 11+10 ≡ 21,
10~3 ≡ 21×10 ≡ 200+10 ≡ 11×2+10 ≡ 32,
…
これを、厭きずに暫く続けると、
10~21 ≡ 80 ≡ -9 に出逢う。
フェルマーの小定理を使って
10~44 ≡ -1 だから、
10~(21+44) ≡ 9 を得る。

n = 65 が最小の n で、
これを最初の式に代入
すれば、
A が解り、問題の数が解る。

回答No.1

nag0720

問(2)だけ

最下位が９の数字を９倍すると、９×９＝８１なので、元の数の１０の位は１。
下２桁が１９の数字を９倍すると、１９×９＝１７１なので、元の数の１００の位は７。
下３桁が７１９の数字を９倍すると、７１９×９＝６４７１なので、元の数の１０００の位は４。
というように１桁ずつ決めていけば求まります。

解は、４４桁の数で、
10112359550561797752808988764044943820224719