複雑な漸化式の解法がわかりません。

質問

写真の[初項=-18]の一般項の解き方が分かりません。
数学にお詳しい方、解法を教えて下さい！

回答No.3

pascal3

最後の「＋５」がじゃまなので、これを消すために
両辺に20を足し、a(n) + 20 = b(n) と置いて b の漸化式で考える、
というのがおおまかな流れです。

この＋20 あるいは－(－20) はどこから出てきたか。
これを No.2 の方のように「極限値」で説明している本が多いのですが、
本当はこの説明は不正確です（n→∞で実際に収束するとは限らないので）。
正しくは「固定点」です。
「仮に初項が －18 でなく p だったら a(n) は n によらず定数になるのでは？」
と考えます。

ついでながら本やプリントの写真を勝手にアップロードするのは
著作権にふれる可能性があります。 せめて出典を明記しましょうね。

回答No.2

spring135

a(n+1)=5a(n)/4+5 (1)
数列のポイントは極限値です。ｎが大きくなって極限値ｐをもつとするとa(n+1)もa(n)もｐになるだろうと考えて
p=5p/4+5　　　　　(2)
これより
p=-20
さて(1)－(2)を作ると
a(n+1)-ｐ=5(a(n)-ｐ)/4
つまりa(n)-ｐは等比級数となり
a(n)-ｐ=(5/4)^(n-1)(a(1)-p)
p,a(1)を代入して整理すると
a(n)=2*(5/4)^(n-1)-20

検算してください。

回答No.1

Tacosan

両辺に 20 を足す.