（１）『すべてのＣに対して(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)』と『Ａ⊃Ｂ』

質問

（１）『すべてのＣに対して(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)』と『Ａ⊃Ｂ』　

（２）『(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)となるＣがある』と『Ａ⊃Ｂ』

必要十分の関係がうまくわかりません．ベン図を書いてもよくわからないのです．

よろしくお願いします．

回答No.3

settheory

（１）について
『すべてのＣに対して(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)』を仮定します。
ＣとしてＡ∪Ｂを代入します。すると、
Ａ∩Ｃ＝Ａ　、　Ｂ∩Ｃ＝Ｂ　となるので
『Ａ⊃Ｂ』を得ます。つまり、

『すべてのＣに対して(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)』　ならば　『Ａ⊃Ｂ』

が示せたことになります。これの逆はほぼ自明でしょう。
コツは、共通部分をとるとき、一方がもう一方含んでいると、含まれている集合がそのままでるということです。

（２）について
『(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)となるＣがある』を考えます。
Ｃとして空集合をとります。そうすると、Ａ∩Ｃ、Ｂ∩Ｃは共に空集合になるので、上の包含関係が成立します。
つまり、No.1さんが言うように、これは（Ａ、Ｂによらず）常に真な命題になります。

一方、『Ａ⊃Ｂ』は常に真ではないです。明らかにＡ、Ｂの取り方に依存しています。よって、

『Ａ⊃Ｂ』　ならば　『(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)となるＣがある』

だけが成立します。

ベン図に持ち込むより、論理で考える方が基本のように思います。

命題Ｐが命題Ｑの十分条件であるとは、　「Ｐ　ならば　Ｑ」が成立することです。これの意味するところは、Ｐの方が（Ｑよりも）条件が強く情報がたくさんあるのでＱを導ける、といった感じです。

逆に条件が弱く情報が少ない方を必要条件という感じです。

どちらがより強い条件（十分条件）か、仮説をたてて示そうと思えば色々状況がつかめてくると思います。

回答No.2

alice_38

包含関係は式変形がやり難いので、
同値変形 Ａ⊃Ｂ　⇔　(￢Ａ)∩Ｂ＝φ を使って
等式変形に持ち込んでみます。

(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)
⇔　(￢(Ａ∩Ｃ))∩(Ｂ∩Ｃ)＝φ
⇔　((￢Ａ)∪(￢Ｃ))∩Ｂ∩Ｃ＝φ
⇔　((￢Ａ)∩Ｂ∩Ｃ)∪((￢Ｃ)∩Ｂ∩Ｃ)＝φ
⇔　((￢Ａ)∩Ｂ∩Ｃ)∪φ＝φ
⇔　(￢Ａ)∩Ｂ∩Ｃ＝φ

ここで、Ｄ＝(￢Ａ)∩Ｂ と書くと、
(1) 『全ての Ｃ に対して Ｄ∩Ｃ＝φ』 と 『Ｄ＝φ』
(2) 『Ｄ∩Ｃ＝φ となる Ｃ がある』 と 『Ｄ＝φ』
…と書き換えられます。

これなら、ベン図が描けませんか？

お礼

この方法は確実に解答にたどり着けるのでありがとうございます．ただ，センター試験では，時間が足りなくなってしまうのではないかと心配です．

回答No.1

nag0720

（１）
『すべてのＣに対して(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)』と『Ａ⊃Ｂ』は同値（必要十分条件）　

（２）
『(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)となるＣがある』は『Ａ⊃Ｂ』であるための必要条件

実際は『(Ａ∩Ｃ)⊃(Ｂ∩Ｃ)となるＣがある』は無条件に成立するのであまり意味はありませんが。

お礼

問題集の解答もそのようになっています．ありがとうございました．