（再質問）デバイ温度の式変形

質問

以前回答していただいたのですが、後日回答を見直してみるとよくわからない点が出てきてしまい、回答していただいた方には申し訳ないのですが再質問させていただきます。また、その時の回答を再掲させていただきます。

この中で（１）,(2)より、dk=(Kb*T/h*vo)dx, k=0～xmax=0～Td/Tを(6.4.29)に代入すると、
積分の前の係数として
(3Vo/(2π)^3)*4π*(KbT/h*vo)^3*Kb を得る。

という部分の　(KbT/h*vo)^3*Kb　となる部分が分かりませんでした。

（再掲）
添付したファイルで、式6.4.29を間の関係式を使って最も下の式を導けるようなのですが、よく分かりません。特になぜ９Rという変数があらわれてくるのかよく分かりません。
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次の様に導出できます。
文字の制約上条件式を書き換えます。

x=h*vo*kmax/Kb (1)
xmax=Td/T (2)
Td=h*vo*kmax/Kb=(h*vo*(6π)^1/3)/Kb*a (3)　　とすると、

（１）,(2)より、dk=(Kb*T/h*vo)dx, k=0～xmax=0～Td/Tを(6.4.29)に代入すると、
積分の前の係数として
(3Vo/(2π)^3)*4π*(KbT/h*vo)^3*Kb を得る。

(3)より、Kb/(h*vo)=((6π^2)^1/3)/(a*Td)　として、係数を整理すると。
3Vo(T/a*Td)^3*Kb となる。aを()外に出して整理すると
9(Vo/a^3)*Kb*(T/Td)^3となり、Vo/a^3=N N:アボガドロ数であるから
9N*Kb(T/Td)^3=9R(T/Td)^3

aは調和振動子の一方向への振幅、a^3は１振動子の占める体積。
Voを１モルの調和振動子系の占める体積と考える。
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回答No.3

drmuraberg · ベストアンサー

(3Vo/(2π)^3) と 4π と (KbT/h*vo)^3*x^2*dx と Kb*x^2　を纏ると
(3Vo/(2π)^3) *(2*2π) * (KbT/h*vo)^3*Kb*x^4*dx
となります
(3)より、Kb/(h*vo)=(6π^2)^1/3/(Td*a) として上の式に代入します。
(3Vo/(2π)^3) *(2*2π) * （(6π^2)^1/3/(Td*a))^3*T^3*Kb*x^4*dx
=(3Vo/(2π)^3) *(2*2π) * (6π^2)/(Td^3*a^3)*T^3*Kb*x^4*dx
=(3Vo/(2π)^3) *(2*2π) * (3*(2π)^2/2)/a^3*(T/Td)^3*Kb*x^4*dx
=9(Vo/a^3)*Kb*(T/Td)^3*x^4*dx

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.2

noname#101087

>積分の前の係数として (3Vo/(2π)^3)*4π*(KbT/h*vo)^3*Kb を得る。　… …(#)
>という部分の　(KbT/h*vo)^3*Kb　となる部分が分かりませんでした。

(6.4.29) の式から、その変形だけ追ってみましょう。

　x=h*vo*k/(Kb*T) → k=x*Kb*T/(h*vo) → dk=dx*Kb*T/(h*vo)
なので (6.4.29) の被積分項は、
　dx*4π*(Kb*T/h*vo)^3*Kb*x^4*{2sinh(x/2)}^(-2)
となる。
積分の前へ追い出せる係数は、
　4π*Kb*(Kb*T/h*vo)^3
これに、元来の係数 3Vo/(2π)^3 を掛けたものが (#) ですね。

お礼

回答ありがとうございました

回答No.1

drmuraberg

失礼しました。（１）の式
x=h*vo*k/(Kb*T) (1) です。dxとdkの関係式では正しくなっている
ので気付かれていたら幸いです。

積分内の整理のポイントはk^2の直後の項を整理するときに
(h*vo*k)^2/(Kb*T^2)=Kb*(h*vo)^2*k^2/(Kb*T)^2
=Kb*((h*vo)/(Kb*T))^2*k^2
と書き換えることです。
これに更に、（１）からの k=(Kb*T/(h*vo))*x　　（１’）
を代入します。
結果は
Kb*((h*vo)/(Kb*T))^2*=(Kb*T/(h*vo))^2*x^2
=Kb*x^2
となります。

後は（１’）を使い、dkとk^2の係数を整理したものは
(KbT/h*vo)^3*x^2*dx
となります。

補足

回答ありがとうございました。すいませんが、(KbT/h*vo)^3*x^2*dx となった場合で画像の最後段の式の形へどうやって導いたらよいのかも教えていただけませんか？