アメリカに35年ほど住んでいる者です。
英語に直すと、難しい単語ですね。 なぜかと言うと、zephyr-breezeさんが、きれいに説明していますが、日本語の持つ意味と英語の持つ意味とはぴったり重ならないんですね。
日本語でも、色の赤でも、いろいろな赤があり、ある人が赤が好きだといっても、同じ赤という色をイメージを他の人がするかというと殆んど違うだろうと言う事と同じようなものですね。
私のHNでも、
I want you to know I'm doing my best.
I'm not ready to die yet!
Please don't get discouraged because I am not.
I'm working very hard every day as I told you before.
Don't worry about me, I'm fine and will keep pushing myself!
などなどなど、いろいろな意味を持ちますね。
頑張る、ということが、今以上の事をやる、ということであれば、do/work/study harderという言い方ができますね。
現状保持/努力する、という意味のときもありますね。 do my best, make every effort等が使えますね。
成功する事を祈っている、というような意味では、Good luck, Wish you win/pass!
間接的に、あなたの事を思っています、というようなときは、 I will be praying for you, 頑張ってね
と言う事で、いろいろな状況でも、同じ「頑張る・がんばる」を日本語では使っていますね。
上に当てはまらない日本語の言い方がありましたら、例文を書いてください。 こちらでの言い方を書いてみますので。
これでいいでしょうか。 分からない点がありましたら、補足質問してください。