三角比の拡張

質問

次の式を簡単にせよ。
1/sin^2 20° - tan^2 110°

この問題がどうしても解けません(＞＜)
解説お願いいたしますm(_ _)m
ちなみに解答は2です。
よろしくおねがいします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

答えは「１」ですね。

必要になる計算式を記しておきます。
・1/sin^2(20°)については
sin^2(θ)+cos^2(θ)＝1の両辺を sin^2(θ)で割り、整理します。

・tan^2(110°)＝tan^2(90°+20°)については
（「°」を略して書いてます）
tan(90+α)
＝sin(90+α)/cos(90+α)
(加法定理を使って整理すると)
＝-1/tan(α)

2つ目の式については、tanの加法定理を使おうとすると tan(90°)が表れてくるので、
ベタに sinと cosにしてしまいます。

tanをことごとく sinと cosに書き換えてしまうのも、一つの手です。

回答No.3

mister_moonlight

110＝90＋20　である事に気が付けばよい。
従って、20°でなくても求められるんだが、20°＝αとでも置き換えよう。
こんなのは、できるだけ計算を簡単にして解くのがコツ。腕力だけなら、数学ではない。

tan 110°＝{sin（90°＋α）}/{cos（90°＋α）}＝-（cosα）/（sinα）であるから、Ｐ＝（1/sinα）＾2-（cosα/sinα）＾2＝{1-（cosα）＾2}/（sinα）＾2＝（sinα）＾2/（sinα）＾2＝1.

回答No.1

info22

> (1/sin^2 20°) - (tan^2 110°)
これを計算すると「1」になります。
手計算でも、Google電卓でも「1」と出てきます。
=1+cot^2 20°-tan^2 110°
=1+tan^2 70°-tan^2 110°
=1+(tan70°+tan110°)(tan70°-tan110°)
=1+(tan70°-tan70°)(tan70°+tan70°)
=1

>ちなみに解答は2です。
解答は間違っていますね。