不定積分の問題です

質問

(sinx)^2/{4(cosx)^2-1} の不定積分を求めて下さい。お願いします

回答No.2

info22

#1です。

結果だけならMathematica不定積分サイトで以下のように計算してくれます。
参考にして下さい。

　∫(sin(x))^2/{4(cos(x))^2-1}
={(√3)/4} arctanh{tan(x)/√3} - (x/4) + C

参考URL
http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=%28sin%28x%29%29%5E2%2F%284*%28cos%28x%29%29%5E2-1%29&random=false

結果から見ると
tan(x)=tと変換して、続いて　t=(√3)tanh(u) と変数変換すると、簡単に積分できるようですが、後半の変数変換を思いつかないかも知れませんね。

回答No.1

info22

問題の丸投げはマナー違反なので補足に分かる範囲での途中までの計算を補足に書くようにして下さい。
ここは問題を丸投げして丸解答を作ってもらう所ではありません（そうすれば削除対象）ので、解答を作るのは質問者だと認識して解答に取り組んで、行き詰ったところを繰り返し補足質問して答えに辿り着くようにして下さい。

解き方についてアドバイス）
手順１）半角の公式を利用してcos(2x)だけの式にする。
手順２）y=cos(2x)と考えて、yについて部分分数展開する。
　（置換はしないこと）
手順３）後は 1/cos(2x),1/(2+cos(2x))の積分をするだけ。
手順４）1/cos(2x)の項の積分をする。
　変形：1/cos(u)=cos(u)/{(1-sin(u))(1+sin(u))}を部分分数展開を利用して積分
手順５）1/(2+cos(2x))の項の積分をする。
　y=cos(2x)と置換して積分

手順に従って積分していけば積分できるでしょう。