ベクトル空間 W が Lie 代数( Lie 環 ) であるとは
ベクトル空間 W が Lie 代数( Lie 環 ) であるとは
X,Y ∈W にたいして [X,Y] ∈W 演算が定義でき、
下の四つの関係式を満たすことであると、教科書は天下り的に示します。
１ [X+Y,Z] = [X,Z] + [Y,Z]
２ [aX,Y] = a[X,Y] a ∈R
３ [X,Y] = -[Y,X]
４ [X,[Y,Z]] + [Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]] = 0
1,2,3 式の意味は解る気がします。Lie 群、Lie 代数は時間に依存して変化す
る事象の代数的な性質を抽象的に抜き出したものだと思います。１,２ 式は
[X,Y] が bilinear な関係であることを意味していると思います。３式の反交
換関係は時間に方向性があることを反映しているのだと思います。
でも４式の意味が解りません。この式はどんな物理的な意味を持つのでしょう
か。幾何的にどんな意味を持つのでしょうか。Poison Bracket がこの４式満
たすのは解りますが、この式を基本法則に持ってくる必然性が理解できません。
逆に１,２,３式のみで４式を必要としない空間は意味がない代数空間なのでし
ょうか。
Lie 代数に詳しいどなたか、教えていただけますでしょうか。
