ベクトルの式の計算

質問

途中の計算なんですが、

{(1-s)a+sb}・(b-a)=0
　　　　↓
(s-1)│a│^2+s│b│^2+(1-2s)a・b=0

(→を省いてありますがaベクトル、bベクトルです)
この変形がわかりません
どうしてこうなるのか・・・
説明おねがいします!

回答No.2

noname#101087

>{(1-s)a+sb}・(b-a)=0
>　　　　↓
>(s-1)│a│^2+s│b│^2+(1-2s)a・b=0

スカラー積の分配則(?)
　p*(q+r) = p*q + p*r
をしつこく連用するのでしょう。
　{(1-s)a+sb}*(b-a) = (1-s)a*(b-a) - sb*(b-a) = (1-s)a*b - (1-s)a*a - sb*b + sb*a = .......

回答No.1

rnakamra

ベクトルの内積a・bは次の関係が成り立ちます。
(a,b,c,...はベクトル、α,β,...はスカラーとする)
スカラー倍：kをスカラーとすると(αa)・b=α(a・b)
交換則：a・b=b・a
分配則：(a+b)・c=a・c+b・c
絶対値：a・a=|a|^2

これらを使うと
(αa+βb)・(γa+δb)=(αa)・(γa)+(αa)・(δb)+(βb)・(γa)+(βb)・(δb)
=αγ|a|^2+αδa・b+βγa・b+βδ|b|^2
=αγ|a|^2+(αδ+βγ)a・b+βδ|b|^2

これはa,bをスカラーと考えた場合の計算とほとんど変わりません。

今回の式も丁寧に展開すれば
{(1-s)a+sb}・(b-a)=(1-s)a・b-(1-s)|a|^2+s|b|^2-sa・b
です。
後は同類項をまとめ、係数の符号を整えればよい。