対数を用いた式に関して質問です。

質問

統計学を学んでる際に、log y = 1.76 + 1.50 log x (常用対数)という式が出てきました。この式に関していくつか確認したいことがあります。ちなみに、ｘは都道府県別広告代理業事業所数を、ｙは都道府県別広告代理業売上高をそれぞれ表しています。

1、一事業ごとの売上高ｙ/ｘは、ｘの増加と共に増加するといえますか？
2、この式から、事業所の規模の分布を知ることはできるでしょうか？例えば、広告代理業事業所数の多い都道府県には、比較的規模が大きい事業所が集まっている、といった具合にです。

ご回答よろしくお願いします！

回答No.2

noname#101087 · ベストアンサー

>log y = 1.76 + 1.50 log x (常用対数)という式 .... ｘは都道府県別広告代理業事業所数を、ｙは都道府県別広告代理業売上高をそれぞれ表しています。

>1、一事業ごとの売上高ｙ/ｘは、ｘの増加と共に増加するといえますか？

対数を真数になおしてみる。
　y = x^(1.5) * 10^(1.76)
両辺を x で割る。
　y/x = x^(0.5) * 10^(1.76)
x^(0.5) は x の平方根ですから、y/x は x の増加とともに増える傾向なのでは？
データをグラフ(対数目盛)にプロットしてみれば、一目瞭然でしょう。

>2、この式から、事業所の規模の分布を知ることはできるでしょうか？例えば、広告代理業事業所数の多い都道府県には、比較的規模が大きい事業所が集まっている、といった具合にです。

当該都道府県の一事業所ごとの売上高 y/x が大きければ、事業所の平均的な規模も大きい場合が多そうですね。

お礼

ご回答ありがとうございます！助かりました。

回答No.1

rnakamra

ヒントだけ。
1.
関係式
log y=1.76 + 1.50log x
の両辺をxで微分して関係式を導きます。
常用対数となっていますが、自然対数に変換した場合の係数が打ち消しあうのでさほど計算は難しくないでしょう。

さらに、y/xをエックスについて微分します。
得られた式に先ほど求めた関係式を代入してみましょう。
これから導関数の符号が得られます。

2.
広告代理店の規模の分布と1事業所あたりの売上高に相関があるとすればそれを導くことができますが、この式からだけでは傾向ぐらいしか読み取れないでしょう。
ご質問にある内容程度でしたら推定できるのではないでしょうか。

お礼

なるほど・・・ｘで微分という発想は思い浮かびませんでした。早速計算してみます。

ありがとうございます！