なぜこれは２次関数になるのですか？

質問

「速度v[m/s]の自動車が，横断歩道の手前距離d[m]の地点に来たときに，信号が黄色に変わった．黄色信号の点灯時間をT[s]とし，この車をb[m/s＾2]で減速させた．自動車の長さは無視するものとする．また，数値計算は四捨五入し，小数第一位までとする．」という問題の一部で
(1)信号が赤色に変わったとき，横断歩道の入る手前で停止するための条件はどうか？
(2)T=2.5s b=3.0m/s＾2とし，横軸にv(5.0～30.0m/s)，縦軸にd[m]をとったグラフをかけ．さらにv,dの範囲を斜線で示せ．

Ｑ１．(1)の答えに「d≧vT-(1/2)bT＾2またd≧v＾2/2b（2bが分母）」とありました．
１つ目の答えはわかるのですが，どうすれば２つ目の答えが出せるのですか？
Ｑ２．(2)の答えには２次関数のグラフがかいてありました．
しかし，(1)の式を変形すると，
d≧2.5v-9.4になり，２次関数になりません．この式でグラフを書くのは間違いなのですか？
(1)のd≧v＾2/2bが２次関数なので，これだけが正解なのですか？

回答No.4

noname#252183 · ベストアンサー

>vに対して違う答えが出るので，おかしいですよね？
>もし，何かわかったことがあれば，答えをお願いします．

質問者様に励まされて(?)、再考してみましょう。
TはVの従属変数ではないか？ということを調べるよりも、

d＝vT-(1/2)bT＾2 ・・・(1)
d＝v＾2/2b（2bが分母）・・・(2)

「両方正しければ右辺同士は等しい。とすれば、形から見て Tはｖに比例するはず。とりあえず等号で結べば何か出てくるかな?」と考えて、

vT-(1/2)bT＾2 ＝v＾2/(2b)
移項して整理すると、　b^2・T^2-2ｂｖT+v^2＝0
因数分解できて、　(bT-v)^2＝0　
b＝v/T・・・(3)

これ、公式
平均の加速度＝（v2-v1）/（t2-t1）
そのものですね。
これを(1)に放り込んで、

d＝vT-(1/2)bT＾2＝ｖ・(ｖ/ｂ)-(1/2)ｂ(ｖ/ｂ)＾2＝v＾2/2b
確かに（2）式が出ました。

(3)で、Tとｂを決めたらｖは決まってしまいます。
（そこを見越して、「T=2.5s b=3.0m/s＾2とし，横軸にv，縦軸にdをとったグラフをかけ」とやった出題者は、只者ならず。）

(1)でTはvと独立には決められません。
結論：グラフを書くには(2)式を使いましょう。(1)式は使えません。

お礼

ありがとうございます．
いろいろ変形すると，ちゃんと意味のある式にたどり着くのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.5

ywkc

その問題と答えを作った人は教育的センスがない、といったら怒られるかな。
たぶん忙しかったんでしょうね。
質問者さんが問題文を正しく書き込んでいるなら質問者さんは悪くないですよ。

進行方向を正として速度vで進む自動車を、ブレーキの加速度-bで止めるとき、それにかかる時間をtとすると
(1) v-bt=0m/s
ですね。変形して
(2) t=v/b
です。
ブレーキを踏み始めてから止まるまでに走った距離が、信号までの距離dより小さいということは、
(3) d≧vt-(1/2)bt^2
と書けます。

ここで注意。時間Tを使って
(4) d≧vT-(1/2)bT^2
と考えるのは間違いです。この式(4)は、信号が黄色から赤に変わるまでの間ずーっと加速度-bで自動車を動かしたとき、最終的に信号の手前にいれば良いという意味です。自動車は止まっていなくても構わないし、たとえ信号を行き過ぎたとしてもバックして（！）戻ってくれば構わないという意味です。ずっと加速度-bをかけるのだから、止まったらバックしないといけないんです。こんな想定外の状況が含まれている式(4)は間違いで、質問者さんの言う通り、この式でグラフを書くのも間違いです。OKですか。
物理の式には意味があります。

式(3)は正しいのですが、問題文にはない文字tを勝手に使っているので答えとしてはダメですね。文字tには意味があって、自動車がちゃんと停止しているという条件式(2)のことです。それを式(3)に使うと
(5) d≧v^2/2b
です。これで勝手に持ち込んだ時間tは消えました。文句なく問題(1)の正解です。#1さんの指摘にある公式を使ってもOKです。

ここで問題(2)の条件 T=2.5s, b=3.0m/s^2 を式(5)に代入すると
(6) d≧v^2/(6.0m/s^2)
です。これが問題(2)の正解でしょう。
時間Tは重要ではないんですが、T=2.5s以内にどうしても止まらなければいけないと言うなら、式(2)から
(7) t=v/b≦T
なので
(8) v≦7.5m/s
です。答えにはこの条件に入れなさいと書いてありますか？常識的には2.5秒以内に全員止まれと言っても無理でしょうに。。
おっと、30m/sまで書かせるとは...t=v/b=10秒かかって止まるんだから、やっぱり赤信号で止まれなくても構わないってことかな？常識的には10秒かかって長い距離走っても停止線で止まっていることが重要だからそれでいいけどさ。。。でも30m/s=108km/hでしょ。一般道で時速百キロ超えてるのはどうよ？
...なんて、変な問題にはつまらないつっこみを入れてたくなりますね。懐かしい。

式(5)の意味は読み取れますか？
信号までの距離が十分あれば（dが大きければ）、結構スピードがあっても（vが大きくても）、またゆっくりブレーキをかけても（bが小さくても）自動車は止まれるという意味です。
距離が短くて（dが小さくて）、結構スピードがあったら（vが大きいと）、それだけ急ブレーキを踏まなければならなくなる（大きなbで加速度をつけなければいけなくなる）という意味です。
このような意味を、正比例、反比例、二乗に比例など、正確な関係で表すのが物理の式です。

物理を嫌いにならないでくださいね。

お礼

ありがとうございます．
確かに最初の式ではバックしても良いということにもなりますね．
tは車がちょうど停止するのにかかる時間なので問題に合うのですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.3

noname#252183

こんなの簡単、と思ったら、トンデモナカ。。。

考え易くするために不等式でなく、等式の問題：
「信号が赤色に変わったとき，横断歩道でぴたりと停止するための条件は？」
に置き換えてみました。

d＝vT-(1/2)bT＾2 ・・・(1)
d＝v＾2/2b（2bが分母）・・・(2)

ここで Tと bを固定すると， d=f(V)の関数形は、(1)は1次関数、(2)は2次関数。
Tとｂを幾らに固定するかの制限はないので、(1)は方程式ではなく関数。
任意のVに対して共に正しい（かな？）2式から、片や直線、他方は曲線で、異なるｄを得ます。

ありえないことですが、私には説明できません。
「なぜこれは違う関数になるのですか？」

お礼

ありがとうございます．
等式にしてもやはりわかりません．
vに対して違う答えが出るので，おかしいですよね？
しかし，答えには「d≧vT-(1/2)bT＾2またd≧v＾2/2b（2bが分母）」とあり，よくわからなくなりました．
もし，何かわかったことがあれば，答えをお願いします．
これからもよろしくお願いします．

回答No.2

g-space

(1)の答えは「d≧vT-(1/2)bT＾2 かつ d≧v＾2/2b（2bが分母）」ですね。
　(2)は「v(5.0～30.0m/s)」という条件があります。これを忘れてはいけません。

　あとは、２つの関数に共通するv,dの範囲を探すだけです。

補足

ありがとうございます．
(1)の後半の答え（d≧v＾2/2b）は，どうすれば求められるのですか？
これがわかれば(2)の答えも範囲を考えてできると思います．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

BookerL

(1)の二つ目の条件は、等加速度運動の公式 ｖ^2－ｖ0^2 ＝ ２ａｘ を使えばよさそうですね。停止する（＝速度が０になる）までの距離がｘ、加速度がｂとします。
　ただし、「b[m/s＾2]で減速」というとき、ｂを正とするか負とするか、符号に注意。

お礼

ありがとうございます．
一応その式を使ってみたのですが，結局２次式になることがないのです．
問題よりbは正の数でした．
これからもよろしくお願いします．