集合の記号がいまいち分かりません

質問

上つきの文字が再現できないので，=(def.)等と表記したいと思います。
集合の記号で質問があるのですが，参考書には以下のように書いてあります。
　・Ａ∩Ｂ＝(def.) {x|x∈Ａ and x∈Ｂ}
　・Ａ＝Ｂ⇔(def.) Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ
と，＝と⇔の使い分けが分かりません。また，問題の解説の過程で以下のように書かれています。
　・Ａ∪φ＝{x|x∈Ａ or x∈φ}
　・Ａ∪Ａ＝(def.) {x|x∈Ａ or x∈Ａ}
前者にはdef.とないのですが，どちらでも良いのでしょうか。
答案を書く際にどう使い分ければ良いか困っています。知恵をかしてください。

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

>＝と⇔の使い分けが分かりません。

その文脈だと、「共通集合というモノ」の定義と「等しいという概念」の定義を区別しているのだと思いますが。
さほど厳密なものではないでしょう。

>前者にはdef.とないのですが，どちらでも良いのでしょうか。
後者が誤植だと思います。
答案に書くなら、

定義に従うと、Ａ∪Ａ＝{x|x∈Ａ or x∈Ａ} ...

などと書けば十分でしょう。

補足

早速の回答をありがとうございます。
　・「共通集合というモノ」の定義と「等しいという概念」の定義を区別
何となくは分かる気もするのですが，まだしっくりきません…。

回答No.2

stomachman

Ａ∩Ｂ＝ {x|x∈Ａ and x∈Ｂ}
は「＝」の右辺も左辺も集合を表しています。「＝」は両辺の集合が同じだということを言っていて、この式全体（つまり「Ａ∩Ｂ＝ {x|x∈Ａ and x∈Ｂ}」全体）は（真か偽の値を取る）論理式（命題）です。

一方、
Ａ∩Ｂ＝(def.) {x|x∈Ａ and x∈Ｂ}
は「∩」という演算の意味を定義する式です。「Ａ∩Ｂとは集合{x|x∈Ａ and x∈Ｂ}のことだと決めます」という意味ですね。これは論理式ではなくて、定義です。

Ａ＝Ｂ⇔ Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ
「⇔」の両辺はどちらも、真か偽の値を取る論理式（命題）です。and は論理演算ですが、⇔も論理演算の記号です。
　P、Qを論理式とするとき、
P ⇔ Q
はこれ全体でひとつの論理式であって、この論理式(P ⇔ Q )が真になるのは「PとQが共に真であるときと、PとQが共に偽になるとき」であり、それ以外の時にはP ⇔ Q は偽です。

　よって、
(Ａ＝Ｂ) ⇔ (Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ)
という論理式は「(Ａ＝Ｂ)であれば(Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ)であり、逆も成り立つ」ということを主張しているのであって、さらに言い換えれば「(Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ)は(Ａ＝Ｂ)の必要十分条件である」ということです。そして、必要十分条件ってのは要するに「論理式の意味が同じだ」ということです。

(Ａ＝Ｂ) ⇔(def.) (Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ)
は「＝」という関係を定義する式であり、「Ａ＝Ｂの必要十分条件は(Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ)だと決めます」ということです。言い換えれば「Ａ＝Ｂとは(Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ)のことだと決めます」という意味になります。

> Ａ∪φ＝{x|x∈Ａ or x∈φ}
> Ａ∪Ａ＝(def.) {x|x∈Ａ or x∈Ａ}
> 前者にはdef.とない

「Ａ∪Ａ＝」のところにdefを付けるのは明らかに間違いです。なぜなら、記号「∪」はこれよりも前に既に定義されている筈です、こんな風に：
Ａ∪Ｂ＝(def.) {x|x∈Ａ or x∈Ｂ}
されてるでしょ。で、すでに定義したものを再度定義することは出来ません。
　そういえば「＝」を
Ａ＝Ｂ⇔(def.) Ａ⊆Ｂ and Ａ⊇Ｂ
と定義するなんて事、普通の数学ではやりません。変だなあ。最近の教え方はこうなってるのかなあ？

> 答案を書く際にどう使い分ければ良いか

　とても簡単です。答案を書くにあたって、答案を採点する人が知らないに違いない全く新しい記号をあなた自身が勝手に決めて使う場合にだけ、def.を付けます。「この記号は以下、こういう意味で使いますよ」と説明するためです。もしこの説明なしに新しい記号を使ったら、意味が通じませんから、その答案は意味不明ということになります。
　習った記号を使う場合には（すでに定義があるのだから）再度定義することは出来ません。従って、defを付けたら間違いです。