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0.999・・・=1 は、現在の教科書に書いてあるか？
私は、無限小数というものを知って以来、0.999・・・=1 は当然と思っていたのですが、高校のとき、塾の先生に、違う、と言われてしまいショックを受けました。等しい以外にあり得ない、としか思えなかったからです。 しかし、世の中は議論が続いているようです。 そこで、数学の教科書に書いてあれば、少しは議論が減ると思うのですが、日本の現在の数学の教科書（というか、指導要領）には「0.999・・・=1」は明示されているのでしょうか？ ちなみに、Wikipediaでは教科書に明示されているように書いてあって、それでも納得できない生徒たちが沢山いる（それでも駄目なのか・・・）、とのことですが、その記事は基本的に英語の記事を翻訳したものらしいので、日本の場合を質問します。
- 数学・算数
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まあ、あきらめるしかないです。 数学の世界では、0.999・・・=1 として決着済。（超実数とかはナシとして。） でも、世の中は、数学の世界とは別世界です。 よって、世の中は議論が続いていてもかまいません。 ※世の中には、いまだに円積問題とか角の三等分とか、数学で決着済の問題を 解いているかたが大勢います。 ＞数学の教科書に書いてあれば、少しは議論が減ると思う ほんのちょっとだけであり、実質的な効果は無いでしょう。 ※数学の教科書の、無限級数のところを読めば、 0.9999...＝1ということが書いてあります。 （直接表現で書いてあるとは限らない。） これは、無限級数を理解できているか、理解できないかでモロに感覚が分かれます。 ですので、塾の先生は無限級数を理解できていない、とあきらめよう。 （というより、先生が何でも知っているか？ そんなこと無い。先生のいうことが全部正しいと考えることがオカシイ。 でも、数学の先生が無限級数を理解できていない？ それはヤバイぞ。） あと、苦言。 ＞教科書に書いてあれば 権威主義かつ、思考放棄と受け取ることも可能な表現なんだけど...
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- jmh
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#8> ＞「無限個の９」を並べて書いたモノ なるほど。では、英語の Wikipedia や教科書では、印刷できない表記表で、完全かつ正確に、０．９９９…＝１だと証明されていて、「日本の場合を質問」されたんですか？
お礼
Wikipediaでの記事 http://en.wikipedia.org/wiki/0.999... （英語） http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... （日本語） 日本の場合の質問をしたのは、 ＞この 1 = 0.999... という等式は長きにわたり教科書にも記され という記述があったのに私には教科書でそれを読んだ記憶がないためです。 説明・証明には省略記号「...」を使っていますが、 ＞省略記号 "..." の意味は厳密に特定されなければならない。 と、その意味が明記されています。 また、挿絵として、本来印刷できないはずの無限個の9をあえて印刷してみたら、というイメージ画像が貼り付けられています。数字を段々小さくしていけば、有限の面積の中に無限個の9をかけますから。 証明だけでなく、何故これが受け入れられないのか、という推測も書いてありますが、無限個の数を並べること自体を表記法と見なすこと自体が受け入れられない、ということは（暗示はされてますが）はっきりとは書いてないようです。 （ですから、あくまでこういう表記法を認めた場合に等しくなるわけで、認めない場合は、0.999・・・はただのナンセンスですから、数式にすらならないわけです。認めない立場では、無限小数をまったく使わずに数学をやらなければならない、というだけです。） 実は証明自体は、私は自力でできるので、証明の詳細は斜め読みだったのですが、他の方の回答のお礼で、私がわからなかった超準解析での話しも載っていたのを見逃しました（やっとわかった）。きちんと全部読んでいないのに、話を出したのは完全に私の落ち度でした。申し訳ございません。
補足
＞たとえ生徒が "9" の無限個の列であることを受け入れたとしても、まだ最後の "9" が「無限の彼方に」あると期待しているのかもしれない とあるので、無限個の列の受け入れの問題もあることは間接的に示されていて、それを受け入れてもまだ問題があることが指摘されていますね。
- arrysthmia
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中年のオジサンですが、私の頃は、小学校の教科書に載っていました。 循環小数を扱う問題は、中学入試にも頻出で、塾でもよく教えていた。 が、その教育を受けた世代が、教師になっても、親になっても、 0.999… は =1 か？ という議論は、一向に減る様子がありません。 恐らく、今時の教科書には、載っていないのでしょうが、 載せたところで、あまり効果はないだろうと思われます。 大学で実数の定義を学べば… という問題でもない気がします。 要は、「0.999…」という表記と、それが示す値を区別して考えられるか、 数を表記するということを自覚的に行えるか、がポイントです。 「0.999…」も「1」も、そこにそう書いてあるから、 そんな感じのものが何か在る… とボンヤリ捉えていたのでは、 どれだけ議論しても、話も頭も整理できません。 数は概念としてのみ存在し、書いた「1」は 1 を示す式のひとつであって、 1 という数そのものではない。「0.999…」も 1 を示す式として「1」と 同等の資格を持つ… ことが理解できていれば、 等比級数の和を習った時点で、「１０倍して１個引くと」式の説明が 違和感なく受け入れられるハズです。 数式（または数字）と数値の区別、それは本来、小学校のときに ２÷３ と ２／３ は同じか？ などを自己解決しながら 身に付けておくべきものです。それができないまま、算数を終わっている人が多い ということだろうと思います。
お礼
＞表記と、それが示す値を区別して考えられるか、 私も同感です。 ＞載せたところで、あまり効果はないだろうと思われます。 ここらへんが、答えですかね。 どうもありがとうございました。 他の方へのお礼で書くのが難しいのがありますので、それを書いた後あたりで締め切らせていただきます。
- nag0720
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#10です。 不等号を間違えました。 '＜' ではなく '＞' でした。
- nag0720
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高校数学では「無限」という概念をあいまいにしたまま教えているからではないでしょうか。 1 < 0.9 1 < 0.99 1 < 0.999 1 < 0.9999 1 < 0.99999 1 < 0.999999 ・・・・・・・・ 1 < 0.99999999999999999999999999 ・・・・・・・・ ・・・・・・・・ この不等号の式はどこまで続いても成立します。 では、いったいいつイコールになるのか。 この「どこまで続いても」を「無限に続ければ」と言い換えればイコールになるのか。 「どこまで続いても」と「無限に続ければ」との違いを明確に説明できれば解決するかもしれません。 大学の数学を学べばlim(極限値)の厳密な定義が解ると思います。
お礼
そもそも、無限小数とは何か、というところから既に曖昧になっているかもしれませんね。 0.999… は9を「無限個」並べたもので、有限個では絶対に1にならず、無限個並べてはじめて1に等しくなるわけです。しかし、そんなもの書けるわけないだろ？という人は当然出てきておかしくないですね。中学生にどう説明したら納得するだろうか？ この問題の方が大きいかもしれません。 無限級数でも定義できますが、数列で言えば、 0.999・・・ という数は、数列 0.9, 0.99, 0.999, ... の極限値としても定義できます。丁度、各項はすべてan<1 であるが、極限値は1に等しくなる例になってます。（厳密に言えば、収束する数列の極限値はたった一つしかない、という性質使っているかも？） 従って、高校でも数列の極限までをきちんとやれば何とかなるかもしれません。（けど、極限値の定義が「限りなく近づく」ではやはりあいまいか。） 取りあえず、教科書に書けばいいのでは？という考えは、あまりにも甘すぎる、ということは確かですね。ありがとうございます。
- jmh
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> 私は、無限小数というものを知って以来、0.999・・・=1 は… > 私には、無限小数なるものと０．９９９…＝１の関係が全く不明です。 ０．９９９…＝１が書かれているかは分かりません。しかし、この等式の意味は本質的には書かれていないと思います。その必要もないと思います。もし、この等式が“０、小数点、「無限個の９」を並べて書いたモノと１が等しい”という意味ならば、教科書に載せることは不可能だと思います。現在の日本の技術では「無限個の９」を印刷できそうにないからです。
お礼
重要なご指摘、ありがとうございます。納得いかない人の気持ちがひとつ分かりました。 確かに、jmhさんのような疑問を持たれるのには理があります。「・・・」の意味は、確かに、 ＞「無限個の９」を並べて書いたモノ だからです。印刷途中ではいくら沢山９を書いても有限少数ですから、絶対に１にはなりません。無限個の９が並んでいて初めて１と等しくなるわけです。しかし、それは当然印刷不可能です。そしてこれは、0.999・・・だけでなく無限小数すべてに言える話です。 従って、この等式は、このような「無限個の数字を並べる」無限小数という「表記法」を認めれば成り立つ、ということになります。 そして、現代数学ではこの表記法を認めるという立場である、ということです。 では何故このような表記法が認められているのか、といえば。 ・とにかく、この表記法を使うことで実数が表せ、実数の性質を調べることができる。 ・この表記法を使っても大きなさしさわりはない。せいぜい、0.999・・・=1というような、二種類の表記法で同じ数を表してしまう場合があるぐらい。 ・実数を表そうとすると、無限小数のような、通常「表記法」というには少々無理がある方法を使わなければ、すべての実数を表すことが不可能であることが証明されている。 ・だからといって、実数の表記をあきらめては、数学の大部分の成果が崩壊してしまう。 といったところだと思います。 多くの数学者たちによって、これを使っても大丈夫だ、ということが示されているので心配はないのですが、これらのことを証明するのはかなり大変な話です。従って、この意味の疑問を持たれるのは無理からぬことです。 取りあえず、印刷不可能ではあるが無限の数字を並べてひとつの数を表す、ということをやっているのだ、そしてそれをやってもOKだと証明されているのだ、という返答になります。 私にとっても勉強になりました。ありがとうございます。（＿＿）
- googoogirl
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「たぶん」の話ですが、書いてないと思います。 高校生のとき、1/3＝0.333… を無限級数で習って(循環小数以外で) しばらく悩みました。心の中で解決するのに、1年以上 かかりました。 …の意味がわかったからです。 …自体が、limit(極限値)を表していることに気付いたので。 …をきちんと教えているとは考えられません。 循環小数の0.111…＝1/9 くらいは載っていますが, 0.999…＝1は問題として出したくないかもしれませんね。 。
お礼
私も、やはりきちんと教えてはいない気がしてます。 いくらイラついたからといって、文部科学省に期待した私もアホだったかもしれません。 ＞0.999…＝1は問題として出したくないかもしれませんね。 何か抵抗があるようですね。その抵抗を分析して数学的に表すと面白いかも。 ＞循環小数の0.111…＝1/9 くらいは載っていますが, 「その両辺を9倍したらどうなるの？」と質問する生徒がいたら先生も困るでしょうね。
- dreamnstd
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私はもう20歳なので最新の教科書の内容は知りませんが、 少なくとも前回公立中学校で採用されていた数学の教科書（つまり私の使った教科書）にはそのようなことは書いてありませんでした。 （記憶違いが無ければこの5年間の間に1回教科書改訂がされている…筈……） ただ、当時の数学の先生が雑談としてそんな話をしてくれたことは覚えてます。 他の数学教員が生徒にもわかるような説明が出来るのかどうかはわかりません。 今でも議論になっていることは確かだと思います。 まぁ、数学屋もそこまで行くとだんだん哲学と変わらなくなってきますからね。どこかに「真理」があると思われている分なおさら厄介です。 ちなみに、私は工学屋さんなので5桁目ぐらいで"1"と認めてしまいます。
お礼
たぶん、今でもはっきりとは書いていないのでしょうね。 どうも、ありがとうございました。とにかく、質問の答えは出たようですから。 一般社会で議論されているのはある程度仕方が無いでしょうが、数学家の学生とか（どこかの掲示板で---発言者も又聞きなので真偽の確かめようもないのですが---数学教育法の講義をしている先生で分かっていなかった人がいる、という記事を見たことがあります）でも、理解してるか疑問の人を見かけますので、ちょっと私も感情的になってしまったようです。専門の人はこんなところで躓かないで欲しい、という気持ちがありましたので。 工学系の方でしたら、この問題より、円周率を3.14で近似するか3で近似するかの問題の方が重要かもしれませんね。
- old_sho
- ベストアンサー率38% (20/52)
ご質問の趣旨をとらえきれずに回答を書いたようですので、再答を。 現場の教師は、と言うと少しどうかなと言う気もしますが、取りあえず実数の定義と言う問題を学んだ者は、分かっている筈とするべきでしょう。その塾の講師は問題かもしれないですが。その上で、高校の教科書でそれが記述されているべきとなるかですね。何とも言いがたい気がします。高校では実数の定義はされていないと見るべきでしょう。有理数に収まらない数は中学校から学ぶのですが、実数の本来的広がりは高校でも手に負えない気がします。 ０．以下に並ぶ０～９の数字の無限列からなる「数」の集合が０～１の間の連続的に詰まった実数に対応すると言うのは、言葉では簡単に言えますが、証明せよとなると、連続とは云々と別の話が必要です。だからと言って無限列を実数と定義すると言うと、今度はそれが連続とはどういうことかと問題です。極限を学ぶのだから出来る筈と言う意見もあり得ますが、少し不連続点がある函数を扱うだけで、厳密には極限もどきを扱っているだけなのではないですか。 と、考えてみると、やはり、暇つぶしに議論を楽しんでいると思えます。別に害はないでしょう。
お礼
＞高校では実数の定義はされていないと見るべきでしょう。 極限の定義もあいまいですからね。 私は高校時代、極限を「限りなく近づく」というようなあいまいな定義で済まされてしまったため、解析関係が全然分からなくなってしまいました。大学に入って、初めてε-δ論法を知って「何でこんな分かりやすい定義があるのに教えてくれなかったんだ？」と思いましたが、後の祭りで苦手意識は取れませんでした。そこらの「恨み」もあって少し感情的に質問してしまったようです。とはいえ、ε-δを高校でやるのは一般向けではないでしょうが。 もっとも、これは有理数の範囲ですでに問題で、循環小数は分数で表すことができる、という時点で、0.999・・・は循環小数だから対応する分数は何だろう？ という問題が出ますね。これを中学生に説明するのは難しいかも。 ＞別に害はないでしょう。 そうですね。分かってない医者による医療事故や、分かっていない政治家・役人による変な法律、もありますし。 ええと、良回答は沢山あるのですが、私としては少々感情的に質問したため突っ込みどころが多く、それらを突っ込んでくれた方に優先的にポイントを出したいと思いますのでご了解ください。
n=0.9999・・・とすると 10n=9.9999・・・となる 10ｎ-n=9 9n=9 n=1 ということが、いいたいの？
お礼
回答ありがとうございます。 いえ、そういったことは沢山の方が言っているので、私があらためていう必要はないでしょう。 同じような議論が延々と続いているようなので、いっそのこと、答えを教科書に書いてしまえば？と思ったもので。 どちらかというと、0.999…＜1 を証明する方法が沢山出て欲しいです。そちらの方が議論のしがいがありますから。
- c_crimer
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議論が続いてるんですか？ 詳しくは分からないのですが・・・。 0.999・・・=1っていうのは、数学の世界の”あや”みたいなものじゃないかな。 1/3=0.33・・・ ×３ が0.9999・・・、で、ちょっと減ってる！１じゃない！！ってヤツだけど。 これを実際の水でやってみると、ちょっと減っているわけがない。 １リットルの水を３つに分けて、戻してちょっと減っていたり、理論的には変でしょ。ｗ 数字で考えても、３を３で割って、３をかけたら３に戻るんだから、１で考えても、減る訳がない。 議論の余地があるのかな？ 「もともと”１”っていうのは、”１”です。」って作ったのが人間なんだから、こういったあやがあるのは当たり前だと思うけど。 数学の大得意な例外で処理しちゃえばいいじゃないかなー？ 0.9999・・・は１です、っていっちゃえば。 例えば、１０割る１０は１、９割る９は１、８割る８も１。 つまり同じ数字のものを、同じ数で割ったら１になる。 そんなのは、当たり前の法則だけど・・・。 でも、０は？これも例外で処理されているはずです。 同じ数字で同じ数字を割ったら１になる。ってルールよりも、０で割ってはいけないってルールが優先されるんでしょ？ 数学の世界も、決まった法則はあるものの、つねに例外や優先されるルールがあるんだから、、、無限小数も整数って事にしちゃえばいいのに。 アホ回答ですいません。 きっともっと難しいレベルで、問題なんでしょうねー。ｗ
お礼
長文の回答、ありがとうございます。 ＞議論が続いてるんですか？ 教えて！gooで「0.999」で検索したら山のように出てきました。web全体だと、もう無数に・・・。 ＞議論の余地があるのかな？ 数学的にはないはずなんですが。当たり前の話のはずなんです。 ＞0.9999・・・は１です、っていっちゃえば。 私もそれを言いたかったのです。でも、例外ではないですよ。 ＞きっともっと難しいレベルで、問題なんでしょうねー。ｗ 数学的ではなく心理的なレベルで問題なのかもしれません。 何で、これほど納得されないのだろう？ それで、教育の現場ではどのように教えられているのか、と疑問に思ったので、数学教育の方面の方で詳しい方がいらっしゃらないかな？と質問してみました。
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お礼
＞＞教科書に書いてあれば ＞権威主義かつ、思考放棄と受け取ることも可能な表現なんだけど... 何日か内省してみたら、心の底に確かに「権威主義かつ、思考放棄」がありました。何たる迂闊。真理に対する一番の敵なのに。 こういう、自分の愚かさを指摘してくださる回答が私にとっては一番ありがたいです。ありがとうございます。 ＞実質的な効果は無いでしょう。 そうなりますね。 むしろ、これだけ違和感を持つ人が絶えないのなら、そこには何か意味があるはずだ、と考える方が建設的ですね。少なくとも、そもそも「無限小数」などという数字を無限に並べることなんてできないはずなのに、それを「表記法」と言っていいのか？など自明でない問題はありますね。もっとも、有限種類の記号を有限個組み合わせてつくる表記法では実数全部を表すことはできませんが、それにも証明は必要ですし。 ＞数学の先生が無限級数を理解できていない？ それはヤバイぞ。 それはどうもいるようです。というか、無限級数が理解できてない、ということは数列が理解できていない、ということですし。どうやって単位を取ったんだろう？ ＞超実数 私は超順解析は知らないのですが、超実数を持ち出して0.999・・・と1が異なるような体系を作ることができる、という話題を持ち出すのは、ちょっと議論があやふやで、混乱が増すだけだと思います。「実数の世界で等しいものは、超実数の世界に埋め込んでもやはり等しくなる」はずですから。正の無限小の入る隙間はないでしょう。厳密に議論するためには、超実数を表す「超無限小数」（？？？）のようなものを持ち出す必要があるのではないでしょうか。（たぶん）
補足
お礼の補足です。 ＞超順解析 甘かった。無限小数の超準版のようなものでも議論は盛んにやられているようですね・・・。 そこで、議論したら泥沼になるような気がしますが。 超準解析を本当に理解するためには、数学基礎論などをきちんと勉強しないと無理なので、私の手には余りますが、少なくとも厳密に定義された数学理論ですから、このレベル程度の問題に関しては当然、数学的な決着はとうについているはずだと思いますけど。 でも、議論は続くわけですね。 あと、漢字を間違えました。超順でなく超準ですね（＿＿）。