偏微分の順序変更について質問

2008/11/19 14:27

このQ&Aのポイント

(x,y)を独立変数とし、関数Fをそれぞれの変数で1回づつの偏微分することを考えます。この時、FxξとFξxの偏微分の順序変更についてはどうなるのでしょうか？
偏微分の順序変更について、質問があります。(x,y)を独立変数として、関数Fをそれぞれの変数で1回づつの偏微分するときの偏微分の順序変更がFxy=Fyxとなることは知られていますが、FxξとFξxの偏微分の順序変更についてはどうなるのでしょうか？
質問です。偏微分の順序変更について、FxξとFξxについての偏微分の順序変更は可能なのでしょうか？(x,y)を独立変数とし、関数Fをそれぞれの変数で1回づつの偏微分する場合、Fxy=Fyxが成り立ちますが、FxξとFξxも同様に偏微分の順序変更が成り立つのでしょうか？

skmsk19410
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数学・算数
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arrysthmia
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2008/11/20 14:57 回答No.3

交換可能か否か以前に、まず、Fxξ という記号の意味をちゃんと定義する必要がありますね。偏微分とは、多変数関数をひとつの変数について微分するときに、他の変数は固定しておくことですが、その固定する他の変数とはドレであるかを、きちんと決めておかないと、話が分かりません。 Fxξ = Fξx という式を考えるときに、F を x,ξ の二変数関数とみなして ξ を固定して x で微分するとかいうことは、たぶん意味がありません。 (x,y) ←→ (ξ,η) の変数変換が、相当タチの良いものであっても、 F(x,y) を x,ξ の関数とみなせるとは限らないからです。例えば、 x = e^ξ, y = e^η であるとき、(x,y) ←→ (ξ,η) は可逆で、しかも双方向に任意回偏微分可能ですが、ξ を固定して x で微分することは不可能です。では、Fxξ は、x で微分するときには y を固定し、ξ で微分するときには η を固定するという意味でしょうか。その場合、Fxξ = Fξx は成立するとは限りません。例えば、 F(x,y) = xy x = 2 u + v y = u + v で確認してみましょう。