ユークリッドの互除法について

質問

教科書に書いている証明がわからないので質問します。

f(x)=x^3+Ax+Bをf'(x)=3x^2+Aで割った余りを求めると(2A/3)x+Bであり
、f(x)とf'(x)がたがいに素でないのならf'(x)が余り(2A/3)x+Bで割り切れる必要があると書いているのですが、これはなぜでしょうか。

わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

rinkun · ベストアンサー

f(x)をg(x)で割ったとき、商q(x)、余りr(x)とすると
　f(x)=g(x)*q(x)+r(x)
です。
ここで、f(x)とg(x)が互いに素でないことから一次式以上の共通因数h(x)があり
　f(x)=h(x)*i(x)
　g(x)=h(x)*j(x)
と書けますから
　r(x)=f(x)-g(x)*q(x)=h(x)*{i(x)-j(x)*q(x)}
です。
ここで、r(x)が一次式なら
　r(x)=c*h(x)
となり
　g(x)=r(x)*(1/c)*j(x)
で、g(x)はr(x)で割り切れます。

ご質問の件は、g(x)=f'(x)とすれば良いです。

お礼

理解できました。ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「2つの多項式が互いに素でない」とはどういうことですか?

補足

おそらく、二つの多項式が共通因数を持つという意味だと思います。