数学

質問

aを実数とし、f(θ)=-asin＾2θ＋2cosθを考える。θが0゜≦θ≦120゜で動くとき、f(θ)の最小値をm(a)とする。
(1)m(a)を求めよ。
（２）aが実数全体を動くとき、m(a)の最大値を求めよ。

どなたたか教えてください。

a(cosθ +1/a)＾2 -1/a -a

ここで cosθ=t (-1/2≦t≦1)
平方完成するとこまでできました。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

＞a(cosθ +1/a)＾2 -1/a -a
＞ここで cosθ=t (-1/2≦t≦1)
＞平方完成するとこまでできました。

　後はｔで置き換えて次のように変形すれば、＃１さんの言われるように２次関数の最大・最小の問題になります。
　（ただし、事前にａ＝０を計算して、ａ≠０としておく必要があります。）
　　f(θ)＝ｇ(t)＝a(t +1/a)＾2 -1/a -a　(-1/2≦t≦1)

０）a＝０のとき、f(θ)＝2cosθ　∴m(a)＝－１
１）ａ＞０のとき、
　ａ）-1/2≦-1/a≦1（⇔ａ≧２）のとき、m(a)＝-a-1/a
　ｂ）-1/a≦-1/2（∴０＜ａ＜２）のとき、m(a)＝g(-1/2)＝-3a/4-1
２）ａ＜０のとき、
　ａ）-1/a≧1/4（∴－４≦ａ＜０）のとき、m(a)＝g(-1/2)＝-3a/4-1
　ｂ）-1/a＜1/4（⇔ａ＜－４）のとき、m(a)＝g(1)＝２

　以上の場合分けをまとめますと、次のように整理できます。
　　ａ＜－４のとき　　　m(a)＝２
　　－４≦ａ＜２のとき　m(a)＝-3a/4-1
　　２≦ａのとき　　　　m(a)＝-a-1/a

　あとは、これを図示すればはっきりと分かると思いますが、m(a)の最大値は　ａ≦－４で２　ということが分かります。

回答No.1

hatake333

そこまでできれば，あとは二次関数の最小値問題ですよ．

(1)
まず，a = 0 のとき，
　　f(θ) = 2cosθ　(0 ≦ θ ≦ 120)
より，
　　m(a) = 0
以下，a ≠ 0 とする．
f(t) = a(t + 1/a)^2 - (1/a) - a (-1/2 ≦ t ≦ 1)
　　 = a(t + 1/a)^2 - (a^2 + 1)/a
　頂点(-1/a , (a^2 + 1)/a) , 軸 x = -1/a
(i)a > 0 のとき，
　-1/2 ≦ -1/a ＜ 0　　　⇒　　　m(a) = f(-1/a)
　　　∴　a ≧ 2 のとき，m(a) = f(-1/a)
　　　　　-1/a ＜ -1/2　 ⇒　　　m(a) = f(-1/2)
　　　∴　0 < a < 2 のとき，m(a) = f(-1/2)
(ii)a < 0 のとき，
　0 < -1/a ≦ 1/4　　　　⇒　　　m(a) = f(1)
　　　∴　a ≦ -4 のとき，m(a) = f(1)
　1/4 < -1/a　　　　　　 ⇒　　　m(a) = f(-1/2)
　　　∴　-4 < a < 0 のとき，m(a) = f(-1/2)
以上をまとめて，
　　　　f(1) (a ≦ -4)
　　　　f(-1/2) (-4 < a < 0)
m(a) =　0 (a = 0)
　　　　f(-1/2) (0 < a < 2)
　　　　f(-1/a) (2 ≦ a)
計算はお任せします．

(2)
(1)で求めたm(a) に対して，各範囲内でとり得る最大値を考えて，
その中での最大値を求めればOKです．