判断推理 集合の問題です。

質問

あるクラスの高校生４５人（男子２３人）について、兄弟関係を調べたところ、次のことが分かった。
　・兄弟のいない生徒は３０人。姉妹のいない生徒は２７人
　・女子生徒のうち、兄弟も姉妹もいない者は１１人
　・男子生徒のうち、兄弟のいる者は６人、姉妹のいる者は８人、どち　　らもいる者は２人だった。
女子生徒のうちで兄弟も姉妹もいる者は何人か。

という問題で、回答によると。
「女子で兄弟も姉妹もいる」をxとする。

45-11=(23+15+18)-(6+8+2+x）+2

この＜2+x＞になる理由がわかりません。
解説よろしくお願いします。

回答No.4

_julius

>これから，右の円と左の円の重複部分を引くとなると，黒い斜線の一部を消すということになってしまい，おかしな穴が開いてしまいますよね。
>だから男子の長方形からこれ以上引くものはありません。

というのは，ちょっと説明がおかしいですね。
以下の文に訂正します。

これから，右の円と左の円の重複部分をもう一度足すとなると，男子の長方形の一部に，再び二重斜線ができてしまいますよね。
だから男子の長方形に新たに足すべきものはありません。

お礼

遅くなりましたがご解説ありがとうございました。

回答No.3

_julius

またしても#1です。

ベン図が分かっているなら話は簡単です。

まず最初の問題から。

次の様なベン図を書いてください（分かりやすいように，大きく大きく書いてください）。

(1)男子というカテゴリー名を付けて，大き目の長方形を書く。
(2)その中に二つの円を描く。両者には重なる部分ができるようにする。左の円が兄弟のいる者，右の円が姉妹のいる者，重複部分がどちらもいる者です。
(3)この長方形とは別にもう1つ長方形を作る。これに女子というカテゴリー名を付ける。
(4)同じように，その中に二つの円を描く。両者には重なる部分ができるようにする。左の円が兄弟のいる者，右の円が姉妹のいる者，重複部分がどちらもいる者です。

ここまで出来たら，式に沿って斜線を入れていきましょう。

(23+15+18)
は，「男子全員＋兄弟のいる者＋姉妹のいる者」でしたね。

ですから
まず，1番目の長方形全体に黒い斜線を引いてください（男子全員）。
次に，男子・女子ともに，左の円の中全体に青い斜線を引いてください（兄弟のいる者）。
最後に，男子・女子ともに，右の円の中全体に赤い斜線を引いてください（姉妹のいる者）。

これで重複部分がはっきりしたと思います。
重複斜線になっている部分を，一重斜線にするためには何を引けば良いのかを考えます。

まず，男子の長方形から。
左の円の中に青い斜線が引いてありますが，これが丸々邪魔ですね。
取りましょう（(1)男子の内で兄弟がいる者）。
次に，右の円の中に赤い斜線が引いてありますが，これも丸々邪魔ですね。取りましょう（(2)男子の内で姉妹がいる者）。
要するに,男子の長方形から青と赤の斜線を取り除くのです（無いものと考えるということ）。
するとどうですか？黒い斜線だけが残りますよね？
今，男子のベン図は，長方形全体に黒い斜線が引いてあるだけの状態のはずです。
これから，右の円と左の円の重複部分を引くとなると，黒い斜線の一部を消すということになってしまい，おかしな穴が開いてしまいますよね。
だから男子の長方形からこれ以上引くものはありません。

では，女子の長方形へ。
これは話が分かりやすい。
単純に，二つの円の重複部分だけが二重斜線になっているので，一個分それを引いてやれば良いだけです（(3)女子の内で兄弟も姉妹もいる者）。

ここまですれば，「クラス全体から，女子で兄弟も姉妹もいない者を除いた数」を意味する領域に一重斜線が引いてあることが分かりますよね？

これが1問目でした。

次に2問目ですが，こちらは3つの円を三角形に配置するやり方の方が分かりやすいでしょう（1問目ももちろん3つの円を利用するやり方で解けますが，視覚的な見易さを重視し，先のような説明をしました。3つの円を利用する方法で試しても，説明に従っていけば同じようにできるはずです）。

一番上の円を野球，右下をテニス，左下をゴルフとします。
そして，野球の円全体に黒の斜線，テニスの円全体に青の斜線，ゴルフの円全体に赤の斜線を引きましょう。

あとは，重複部分を消していく作業です。
(1)野球の円とテニスの円の重複部分には黒と青の斜線が引いてあるはずです（赤もありますが，全体には及んでないので，とりあえず無視します）。このうち，（一重斜線になればいいので，本当はどちらでもいいのですが，説明の便宜上）青の斜線を消しましょう（(1)野球とテニス
）。
(2)次に，テニスの円とゴルフの円の重複部分には，赤の斜線が引いてあるはずです（残りの2色は全体に及んでいない。青の一部が(1)で消去されたため）。この赤の斜線を消しましょう（(2)テニスとゴルフ）。
(3)最後に，ゴルフの円と野球の円の重複部分には，黒の斜線が引いてあるはずです。この黒の斜線を消しましょう（(3)野球とゴルフ）。

そうするとどうでしょうか。
3つの円が重複する部分から斜線が全くなくなっているはずです。だからこれを補ってやる必要があるので，それをさらに足すのです。

どうでしょう。
分かりますでしょうか？

今までの話はベン図を使って確かめてきましたが，より一般的な言い方をするなら，
1問目なら，(1)男子の内で兄弟がいる者(2)男子の内で姉妹がいる者をひいても，「男子である」という理由から引いた斜線が残っていますが，
2問目なら，ベン図が3つの要素のみから成り立っている以上，(1)野球とテニス(2)テニスとゴルフ(3)野球とゴルフをひいてしまうと，何の要素も残らなくなってしまい，補う必要が生じるということです。

こんなもんで，どうでしょう。

そういえば，この問題は何の問題なんですか？
公務員試験か何かですか？
こういうのは視覚情報がものを言うので，身近にいる専門家（先生・講師）に聞くのが一番ですよ。

回答No.2

_julius

♯1の者です。

まず，
>「男子生徒のうち、兄弟も姉妹もいる者」を足さなかった理由は何故ですか？
という質問の意味合いがよく分かりません。もう少し詳しくお願いします。

それから，
>ある会社の社員の総数は80人である。社員の中で野球の経験者は25人、そのうちさらにテニスの経験者が8人。社員の中でテニスの経験者は38人、そのうちゴルフの経験者は10人。ゴルフの経験者の総数は20人。野球、テニス、ゴルフのすべての経験がある者は3人で、以上の3つの経験がまったくない者が17人。野球とゴルフの経験がある者は何人か。
ですが，単純に式が違います。
80-17=(25+38+20)-(8+10+x）
でなく，
80-17=(25+38+20)-(8+10+x）+3
です。
なので，正解は5です。
あなたの言う
-(8+10+x）は
(1)野球とテニス
(2)テニスとゴルフ
(3)野球とゴルフ
の3つが重複しているからということなのでしょうが，この3つをそのまま引くと，3つともの経験者の部分がなくなってしまいます。だからその分の3人を足さないといけない。
ベン図というものをご存知ですか？それを使って確かめてみれば分かると思います。

補足

ベン図はもちろん利用しています。
この２問は類似している問題だと思うのですが、
ベン図の真ん中の部分（３つの円が重なる）を１問目は足さず、２問目は足していますよね？
その判断が分からないのです。

回答No.1

_julius

>45-11=(23+15+18)-(6+8+2+x）+2
という式は，なんだか無駄にややこしい印象を受けます。これの式そのもの解説ではないのですが，余分な部分を消去した，
45-11=(23+15+18)-(6+8+x）
なら，理解できます。

まず左辺の意味は，
「クラス全体から，女子で兄弟も姉妹もいない者を除いた数」を意味します。
方程式にするのですから，右辺はこれを目指していくことになります。

右辺の最初，
(23+15+18)
は，「男子全員＋兄弟のいる者＋姉妹のいる者」ですよね？
これで一応さっきの
「クラス全体から，女子で兄弟も姉妹もいない者を除いた数」
が射程に入ります。

でも重複して数えてしまっている部分があります。それが次の3つです。
(1)男子の内で兄弟がいる者
(2)男子の内で姉妹がいる者
(3)女子の内で兄弟も姉妹もいる者
です。
ですからこれを引けばいい。
したがって,
-(6+8+x）
になります。答えは8人です。

補足

ご回答ありがとうございました。
ひとつ質問があるのですが、
「男子生徒のうち、兄弟も姉妹もいる者」を足さなかった理由は何故ですか？

それと申し訳ないのですが、もう一問解説お願い出来ますか？

ある会社の社員の総数は80人である。社員の中で野球の経験者は25人、そのうちさらにテニスの経験者が8人。社員の中でテニスの経験者は38人、そのうちゴルフの経験者は10人。ゴルフの経験者の総数は20人。野球、テニス、ゴルフのすべての経験がある者は3人で、以上の3つの経験がまったくない者が17人。野球とゴルフの経験がある者は何人か。

_juliusさんのご回答を基に自分がたてた式が

80-17=(25+38+20)-(8+10+x）
これを解くと、x＝２となるのですが、
正解はx＝５との事です。
解説よろしくお願いします。