論証の妥当性とトートロジーの関係(命題論理)
A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、というのは、妥当という言葉の定義からして、
A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である。(結論がCで無くなるような場合、すなわち反例は存在しない)という事だ。
ここで、
(A1∧A2・・・)⇒C
という論理式を見てみる。この論理式がトートロジーになる場合というのは、真理値分析してみて、
(A1∧A2・・・)が真の時、Cがすべて真
になっていればよい。
そして(A1∧A2・・・)が真の時、というのは、
A1、A2、・・・がすべて真であるとき、
である。つまり、
A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真
という条件がそろえば、論理式(A1∧A2・・・)⇒Cはトートロジーである。
ここで、先ほどの、論証が妥当であるための条件、を見てみると、
A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である、
という風になっている。これはまさに、(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーであるための条件である。
成り立つ条件が同じであるから、
A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当であれば、(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーであり、
(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーであれば、A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である。
といえる。
また、成り立つ条件が同じならば、論理的には同じ意味といってよいので、
A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、という事と、
(A1∧A2・・・)⇒Cがトートロジーである、という事は、同じ事を意味している。
といえる。
かくして、論証の妥当性とトートロジーという概念がつながった。
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論証の妥当性とトートロジーの関係は、以上のようなもので、問題ないのでしょうか。
下から4行目、成り立つ条件が同じならば論理的には同じ意味になる、というところが、
なんとなく引っかかるのですが、そういうものなんでしょうか。
お礼
回答ありがとうございました。 型にはめようとして、結構、苦闘をしておりました。 これからは、もう少し自由に出来そうです。