地表から直線移動した後の経度・緯度・高さ

質問

地表上のある地点に立っていて、その地点から見た南北方向or東西方向に移動するとします。
ただし、重力を無視して直線上を移動します（地面から離れて空中を移動するイメージです）。
ある距離だけ移動した後、その地点の経度・緯度・高さを求めるにはどのような計算をすればよいのでしょうか？

○南北方向に移動した場合は
経度⇒変化しない
緯度⇒変化する
高さ⇒高くなる

○東西方向に移動した場合は
経度⇒変化する
緯度⇒変化する（小さくなる）
高さ⇒高くなる

ということはわかるのですが・・・。

説明が下手すぎてわかりにくいかもしれませんが、よろしければ考え方のヒントだけでもよいので教えてください。

回答No.1

yumitsuki · ベストアンサー

まず、移動は平面的なので直交座標系で表現しておいて、
その後、緯度・経度・高さを球座標系で表現するために、
両座標系間で座標変換の計算を行う、というのが王道だと思います。
申し訳無いのですが、座標変換の計算は説明が大変なので、「座標変換」で検索してみて下さい。
両座標系とも、原点を地球の中心とすることで、計算が少しだけ楽になると思います。

移動が南北方向の直線上に限定されるなら、もっと簡単な計算方法があります。
移動経路である直線と、地球の中心点とを通る平面を考えます。
あとは、移動の経路と、地球の半径とを含む直角三角形でアークタンジェントを計算すれば、緯度を出せます。同じ直角三角形でピタゴラスの定理を用いれば、高さを出せます。経度はもちろん不動です。

お礼

なるほど、直交座標系で表現したあと再び球座標系に戻すのですね。
検索したみましたが、なかなか計算が複雑そうでやっかいですね・・・。
何とか理解してみようと思います、ありがとうございました。

南北方向の計算はできたのですが、東西方向が難しいですね。色々検索してがんばってみようと思います。

回答No.7

debukuro

計算に必要な要素は与えられ撒ければなりません
計算で求めるのではなく条件として設定されなけrればならないのです

運賃はいくらですか？と聞かれても
乗車地と到着地が分からないと運賃は計算できませんね
三角形も三要素が与えられないと解けません

お礼

なるほど・・・もともと条件として定める必要があるのですか。

了解です、ありがとうございました。

回答No.6

manno1966

> 東西方向に移動した場合は明らかに経度も変化する
これをどうイメージするかの違いかな。
北緯45度から真西に進んだら、いつの間にか北緯10度まで南下したと言うことは起こらないですよね。
起こったとしたら、真西に進んでいない。
私はこれを考えていました。

南極点と北極点を結んだ線と直角に交わる線だと、離れるほど緯度は低くなりますね。
こちらの考え方ですね。
高度はANo.4で、出ますよね。

斜辺を地球の半径とする直角三角形で、緯度が決定されているのだから、三つの角の角度が判る
斜辺と、三つの角度の判った三角形なのだから、三角関数で「南極点と北極点を結んだ線」の直線上の距離が出る。
高度を斜辺とする直角三角形で、もう一辺が「「南極点と北極点を結んだ線」の直線上の距離」で判っているので、三つの辺が出て、角度も判る。

回答No.5

manno1966

訂正します。
南北は問題ないけど、東西は少しやっかいですね。
角度が出た後、地球の半径を頂点とする二等辺三角形を出し、底辺を出す。
緯度に直角な移動で移動距離が判り、緯度から距離が判る。
同じように斜辺が判り、直角三角形だから各角度が判る。
なので、移動した角度が判る。

> ○東西方向に移動した場合は
> 経度⇒変化する
これはおかしいですよね。
南北と直角なのが東西。
緯度線と南北は同一。
緯度線と直角なのが軽度線。

お礼

申し訳ございません、説明がよく分かりませんでした。

>地球の半径を頂点とする二等辺三角形
とありますが、地球の中心が頂点ということでしょうか？

それから、東西方向に移動した場合は明らかに経度も変化するような気がするのですが、私の勘違いでしょうか？

回答No.4

manno1966

三角関数ですぐに判る気がするのですが。
イメージとしては、地球を完全な球体として、その球に接する正四角形を書きます。
正四角形の各辺と球の円周の接点から球の中心に線を書くと直角で長さは地球の半径の線となります。
> ある距離だけ移動した後
移動距離は判るわけですよね。

> 高さ
直角三角形の直角を構成する二辺が判っているので、斜辺の長さを求め、地球の半径を引く。
> 経度・緯度
は、「南北方向or東西方向に移動するとします。」斜めはないので、直角三角形の各辺の長さが判れば角度を出すことも出来ますね。

回答No.3

debukuro

球面三角では
辺の交角はもちろん辺の長さも角度であらわすのです
中心角と辺の長さは比例するからです
飛行機や船で使う距離は実は角度なのですよ

お礼

球面三角の６つの要素のうちの１つ（１辺）は分かりますが残り２つの要素をどう求めるかがわかりません。
度重なる質問で失礼とは思いますが、具体的にはどのように計算するのでしょう？

例えば、初期位置の経度をλ、緯度をφ、高度を０とし、東西方向にL移動した場合の経度変化・緯度変化はどうなるのでしょうか？

回答No.2

debukuro

南北方向の場合は簡単です
直線の長さをL、地球の半径をRとすると
緯度変化Dlは
tanDl=L/R
地表からの高さHは
H＝(R/cosDl)-R

南北以外の方向の場合は
Dlを中心角θと読み替えればいいのです
そうすると高さはそのまま求められます
問題は緯度差Dlと傾度差DLです
球面三角の公式を使って解くことになりますが
三角形の六要素の内の1要素この場合は１辺しか分からないのでちょっと
１辺とはDl（θ）です
残り二つは↓の中の二つです
１）最初の緯度
２）経度差
３）後の緯度
４）はじめの位置での接線と経度線の交角
５）後の位置から見た最初の位置の方位
東西方向の場合は４）の他にもう一つ

お礼

すいません、頭を悩ませても分かりませんでした・・・。

三角形の６つの要素になぜDl(θ)および(1)～(5)が対応するかがわかりません。
もしよろしければもう少し詳しく教えていただけないでしょうか？
説明が面倒でしたら参考になりそうなURLでもありがたいです。