【大学１年 線形代数学－基底・部分空間】

質問

次の問題が分からず困っています。
どなたか、解き方をお分かりでしたら、教えて下さい。
宜しくお願いします。

「WはR4の部分空間であり、
{(1,1,1,2), (2,1,2,3), (a,3,-a,a)} と
{(3,1,1,1), (b,b,0,b-1),(2c,1,c,c)}　のベクトルの組は、
いずれもWの基底であるとき、a,b,cを求めよ。」

【正解】a=1,b=2,c=2　とテキストにありました。

両組の（１次結合）＝０として、計算しても、
正解の様に一意に定まるような解を得ることができませんでした。

回答No.2

kup3kup3

こんばんは。
私も何度か計算間違いしましたが
a=1,b=2,c=2であっています。
(1,1,1,2), (2,1,2,3), (a,3,-a,a)が3次元空間Wの基底で、
(3,1,1,1)はもう一組の基底の一部だから、(3,1,1,1)はWの元です。
よって、(3,1,1,1)は(1,1,1,2), (2,1,2,3), (a,3,-a,a)の一次結合でかけます。ということは
次の4×4の行列式
|1 2 3 a|
|1 1 1 3|
|1 2 1 -a|=0
|2 3 1 a|
でなければならない。
aが少ないほうがよいから、1行目を3行目に加え、4行目から1行目を引けば
|1 2 3 a|
|1 1 1 3|
|2 4 4 0|=0
|1 1 -2 0
を計算したものを補足にかきなさい。
なお　W={(x,y,z,w)∈R^4 |x－2y－3z+2w=0}
となる。頑張ってやりなさい！

回答No.1

koko_u_

>両組の（１次結合）＝０として、計算しても、
具体的にどういう風にしたのか、そして何故そうしようと思ったのかを補足にどうぞ。