つねに定点を通る
放物線 y^2＝4pxの頂点 O(0,0)から、互いに垂直にひいた２本の直線がこの放物線と再び交わる２点 Q,Rを結ぶ直線は、つねに定点を通ることを示せ。
[解答]
Q,Rのy座標をそれぞれ 2pα、2pβ(α≠β、αβ≠0）とおくと
Q(pα^2,2pα)、R(pβ^2,2pβ)
となる。OQ⊥ORとなるべきことから
(2pα/pα^2)(2pβ/pβ^2)＝-1
∴αβ＝-4...(1)
直線QRの方程式は、
x-pα^2＝((pα^2-pβ^2)/(2pα-2pβ))(y-2pα)
∴2(x-pα^2)＝(α+β)(y-2pα)
∴2x＝(α+β)y-2pαβ...(2)
(1)を(2)へ代入して
2x＝(α+β)y+8p
となる。この方程式で表される直線は、つねに定点(4p,0)を通る。
こんにちは
高校数学の代数幾何の問題です。
解答の式の変形や流れは分かりましたが、最後の
2x＝(α+β)y+8p
となる。この方程式で表される直線は、つねに定点(4p,0)を通る。
この意味がどうにも（自分的に）分かりません。
なぜ？この方程式で「つねに定点(4p,0)を通る。」と示されるのか？
（多分、数学Iの恒等式の分野なのか？よく分かりませんが…）
よろしくお願いします。
（数式など分かりづらい個所あらば補足します。）
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