任意の円弧の軌跡

質問

平面上において、２定点Ａ、Ｂを両端とする任意の円弧の３等分点のうちＡ点に近い方の点の軌跡を求めよ。という問題です。考えすぎて頭が痛いです。分からないと寝れません/＞＿＜＼お願いします。

回答No.2

take_5 · ベストアンサー

いろんな解法が考えられるが、素朴な解法で。。。。。笑

a＞0とする。xy平面上で、Ａ（a、0）、Ｂ（-a、0）となるような点をとり、題意の3等分点をＰ、もう一つの3等分点をＱとする。
ＰＱとＡＢは平行、ＰＱ＝ＰＡであるから、ＰＱの中点をＨとすると、Ｈはy軸上にあって、ＰＨはy軸に垂直で、ＰＨ：ＰＡ＝1：2.
よって、Ｐ（x、y）とすると、2x＝√{（x-a）＾2＋y＾2}であるから、x≧0、4x＾2＝（x-a）＾2＋y＾2。
よって、求める軌跡は、双曲線：（x+a/3）＾2/（2a/3）＾2－（y）＾2/（2a/√3）＾2＝1、（x≧0）。但し、x軸上の点を除く。

お礼

簡単に解いていて愕然としました。ありがとうございました。
よければ他の解き方の方針だけでも教えて頂けたら幸いです。

回答No.1

tyty7122

このサイトでは、まず質問者が自分の考えを示すルールとなっている。丸投げ禁止。

さ、貴方の考えを補足欄にどうぞ。

補足

初めてなもので失礼いたしました。
自分は限られた値域において双曲線になると予想しました。
まず、円弧の中心角をθ、半径をr、Ａ、Ｂ点を原点対象Ｘ軸上の点（a,0）,(-a,0)としました。円の中心Ｐ（０,k)（勝手においた）の座標は常にＹ軸上にあることは自明なので、三角形ＡＯＰに着目して条件を出しました。これでｋとｒはaとθで表されました。
またベクトルで追っていって三等分点Ｑ（勝手においた）の座標をθ、ｒ、ｋを用いて表しました。
この時点で自分が何をやっているのかわからなくなってしまいました。
助けてください！