32q≡2q≡6 (mod10)?

質問

参考書の問題を見ていたら、
32q≡2q≡6 (mod10)は
q≡3,8　（mod10)になっているんですが、
これはどのように計算すればいいのでしょうか？

回答No.3

kup3kup3 · ベストアンサー

>32q≡2q≡6 (mod10)
とありますが、元々の問題はどのようなものですか？

なお、最初の問題がもし、
「32q≡6 (mod10)を満たす整数qをmod10で求めよ。」だと
しましょう。32≡2(mod10)なので、「合同式の両辺に同じ数qをかけて」
　→　32q≡2q(mod10)　となります。
そこで　2q≡6 (mod10)・・・(*)を解けばよくなりました。
このあとが「多分質問されているのだ」とおもいますが、あなたが剰余系或は同値類など
の概念が分かっていたら次の(1)は読み飛ばして(２)へどうぞ。

(1)　mod10の世界で考えているので、その世界の数は
まあ、　A=｛0,1,2,3,4,5,6,7.8.9}でできている。
ただし、
　(ア)例えばこの中で加減乗除をするときはその結果が10になったらその都度10は0とせよ。
　　また13になったら10を引いて3と考えよ。ということです。
例　
　（イ）4+9は普通13であるが13は3と思って「4+9=3」とmod10の世界では考える。
　　　　同じ「=」だとおかしいので、「4+9≡3　(mod10)」とするわけですね。
　(ウ)　3×8は24だが24=2×10+4なので24は4と同じと思うわけです。
　　　　つまり、「3×8≡4　(mod10)」となるわけです。

(2）
　4÷6も一応はできます。6x≡4　(mod10)となるxを捜せ、ということです.そこで、
　xに順にＡの全ての要素　0,1,2,3, ..., 9を代入して6xを計算すれば、
普通に計算して、0,6,12,18,24,30,36,42,48,54となりますが、
これは　mod10の世界では0,6,2,8,4,0,6,2,8,4 となります。
　こうして6x≡4(mod10)となる数xがmod10で、6×4=24の　x≡4(mod10)と
　もう一つ　6×9=54≡4(mod10)のx≡9(mod10)とみつかりました。
　◎つまり、6x≡4(mod10)の答えは二つあり、
　　　x≡4(mod10)とx≡9(mod10)　です。
　このようにしてＡの世界では数は有限個なので一つずつ代入してば必ず見付かるはずです。
しかし、
　　2x≡1(mod10)はxにAの要素xを10個全部いれても見つかりません。
　　これは　「２と10が互いに素ではない」からです。
　また、もし問題が「33q≡4(mod10)」であったら
次のように「かっこよく」解けます。
　33q≡4(mod10)　→3q≡4(mod10)　両辺に7を掛けて
　21q≡28(mod10)　21≡1なので　⇔q≡8(mod10)　となり、
　(答え)は一つです。
とにかく、mod　の世界の数をxやqに代入して行けば求まる場合は求まるし、
一つもないときは「解なし」となります。
　◎　なお　2×3=6なので　2q≡6(mod10)の一つの答えはすぐq≡3(mod10)と求まります。
　それでは問題を解いてください。

お礼

解答ありがとうございます。

なるほど。簡単な話だったんですね。
よくわかりました。
2×8は、16ですから答えなんですね。

回答No.2

info22

mを正またはゼロの整数として
32q≡6(mod 10)は
2q≡6(mod 10)に含まれるので
2q=10m+6…(1)
ただし 6≦2q＜20→3≦q＜10
だけを解けば良いでしょう。
m=0→2q=6,q=3
m=1→2q=16,q=8
m=2→2q=26,q=13(不適)
m≧3でも同じく不適
なぜかは自分で考えてください。

回答No.1

ojisan7

質問者さんはどのように考えましたか？
丸投げはマナー違反になりますよ。わかるところまで解答を
記入して下さい。

参考書をみれば計算の仕方が説明してあると思います。
2q≡6 (mod10)
で(2,10)=2ですよね。しかも、６は２の約数ですから、
この合同式は解をもちます。しかも解は２個存在するはずです。
2q≡6 (mod10)
を２で割ると、
q≡3 (mod5)
したがって、解は
q≡3,3+5=8 (mod10)
となります。

お礼

解答ありがとうございます。

丸投げというか参考書の問題なので答えまですべてわかっている
のですがこの部分がわからなかったので質問してみました。