無限繰り返しゲームについて教えてください

質問

両者がとりうる戦略はこの２つ。
　　企業ｂ
　　高価格　　　　　低価格
企　（１５．１５）　（０．０）
業　
Ａ　（３０．０）　　（５．５）

　このゲームが無限に繰り返される状況を考える。割引因子δ（０＜δ＜１）とし、各企業はトリガー戦略をとることと仮定する。トリガー戦略がこの繰り返しゲームのナッシュ均衡となるための、割引因子δの範囲を求めよ。という問題なのですが、教科書やパソコンで調べても全く分かりません。よかったらどなたか教えてください。おねがいします。

回答No.1

miinosuuke · ベストアンサー

問題の雰囲気からしてAが高価格、Bが低価格の場合、
利得は（０、３０）だと思います。
（でないと、多分Bは低価格に変更する動機を持たないと思います）
ので、勝手ながら一部書き直して計算しています。ご了承ください。

問題文で、両者がトリガー戦略をとることを仮定しているので、
相手がトリガー戦略をとるものとしてAの立場で考えてみます。
まず、Aもトリガー戦略をとった場合、
ｎ回目までのAの利得の期待値Sは、
S＝１５+１５δ+１５δ＾２+・・・+１５δ＾ｎ-１
（δ＾ｎはδのｎ乗の意味です）
Sを求めるにはδ×SをSから引くと簡単な式に直せます。
その時δ＾ｎ＝０（δ＜１）に注意しましょう。
次にAがいきなり１回目のゲームで低価格に変更した場合の
Aの利得の期待値Tは、
T=３０+５δ+５δ＾２+・・・+５δ＾ｎ-１
Sのときと同様、TからδTを引いてTを求めます。
トリガー戦略をとった方が、利得が大きくなっていれば
トリガー戦略が最適反応といえるので
S＞Tとなるようなδが問題の答えです。