debukuroさん(No2,No3,No4)のおっしゃっていることはフェーン現象そのものですよ。
もっともわかりやすい事例による解説です。
>というと風上の町は風下の町よりも涼しいということですよね。
おっしゃるとおりです。
言い換えれば風下の町が暑くなります。
>フェーンは非常に暑くなりますが、これはなぜ暑くなるのですか?
あなたがおっしゃるとおりで、風下の町は風上の町より暑くなっています。典型的なフェーン現象です。そのメカニズムはdebukuroさんのおっしゃるとおりです。
たとえば博多が風下になるような山越えの風が吹いて山越えの風上側で湿潤断熱変化および降水の発生、風下側で乾燥断熱変化がおこればフェーン現象によって博多は暑くなります。
フェーン現象がどのような現象なのかの回答としてはdebukuroさんの回答で間違いはありません。
>博多に住んでいますが最近異常に暑いので。
これを知りたいのでしたら「このとおり」の質問を別に行った方が賢明です。
フェーンが「知りたいこと」の原因とは限りません。
質問の主旨が「博多に住んでいますが最近異常に暑いので。」であるならばdebukuroさんの回答は的外れですが質問の主旨はフェーン現象についてですから回答は適切かつ明快なものです。
博多周辺の地理に詳しくありませんので的確な回答をできませんが、冬に降雪があることから推測すると日本海側の気候とみなせて太平洋側から湿った風が吹き込んで山越えで降水をおこして風が博多まで吹走すればフェーン現象によって博多は暑くなります。