これってコーシーの積分公式の矛盾!?
ルベーグ積分と複素積分の関係についての質問です。
先ず,定義等を説明させてください。
(Ω,∑)を可測集合とする。
(1) μ:∑→Cを0=μ(φ)≦|μ(G)|<+∞ for ∀G∈∑.
(2) {G_k}_{k=1}^∞⊂∑が互いに素 ⇒ |μ(∪_{k=1}^∞}G_k)|=∑_{k=1}^∞|μ(G_k)|
を満たす時,μは複素測度をなすという。
次にB(C)をC上のボレル集合体,A:={{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}∈2^C;a,b∈C}}を表すとする。この時,
∀a,b∈Cに対して,μ_0:A→CをA∋∀{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}→μ_0({x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}):=Re(b)-Re(b)+i(Im(b)-Im(a))と定義すると,
μ|_A=μ_0でμ:B(C)→Cが複素測度となるようなものが一意的に存在する(∵拡張定理)。
次に,測度空間(Ω,∑,μ)において,f:Ω→Cを∑可測関数とし,f_Re^±(z):=max{0,±Re f(z)},f_Im^±(z):=max{0,±Im f(z)} (複合同順)と定義すると,
これらは実数値関数で Re f_k \nearrow f_Re^±(z), Im f_k \nearrow f_Im^±なる∑可測な単関数の列 (Re f_k)_{k=1}^∞,(Im f_k)_{k=1}^∞ が存在する(∵某命題)。
因みに,∑可測な単関数 Re f_kにはRe f_k(z)=∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z) (但し,a_m∈R,G_m∈∑, I_{G_m}は特性関数) なる(a_m)_{m=1}^k∈R^kと(G_m)∈∑^kが存在する。
この時,
∫_Ωfμ:=
sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^+(z) for∀z∈Ω}
-sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^-(z) for∀z∈Ω}
+i[sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^+(z) for∀z∈Ω}
-sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^-(z) for∀z∈Ω}]
をfのルベーグ積分という。
続いて,ルベーグ積分に基づく複素積分の定義です。
J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列},
δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。
この時,
lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{
∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
+ i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])}
={l}
(ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という。
因みに, J([a,b])は閉集合なのでルベーグ可測集合であり,
inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1}))はルベーグ積分でのa_mに相当,
そして,
(J(p_m),J(p_{m+1})]はルベーグ積分でのG_mに相当してます。
さて,本題ですが、、
Jがジョルダン閉曲線の場合,始点と終点は重なってるので
μ(J([a,b]))=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) μ((J(p_m),J(p_{m+1})])=0
となり,J[a,b]は零集合になると思います。
そこでf:C→CはJ([a,b])上とJの内部で正則な関数とし,c∈CはJ内部の点とする時,
1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz=f(c)
となりますよね(コーシの積分公式)?
しかしJ([a,b])は零集合なのでfやcのいかんにかかわらず常に積分値は0となってしまうと思うんです。
、、なので
コーシーの積分公式は
1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz≡0
となってしまい矛盾が生じてしまいます。
私は何処を勘違いしてるのでしょうか?
お礼
回答有難うございました！ それぞれ無事理解出来ました。とっても嬉しいです。 (1)については共通因数kでくくるのがポイントですね。とっても分かりやすかったです。 (2)については両辺の2乗と解の公式がポイントでした。 あらためて2次方程式の解の公式を思い出させて頂き有難うございました。 途中ネットでこの解の公式について調べたのですが、今の中学生ではこの公式は教えられていないのですね。ちょっとびっくりしました。 (3)については理屈抜きに覚えようと思います。只いつもそばにwindowsのPCがあるとも限らないので、一応関数電卓でも計算出来るようにもしました。正直ちょっと戸惑いましたが何とか分かりましたので良かったです。 ホントにココ数日のモヤモヤが晴れました。 ありがとうございました。