二次関数

質問

[１]放物線y=x^2上に異なる４点A(-1,1)B(2,4),P(p,p^2),Q(q,q^2)がある。
-1<p<2のとき次の問いに答えなさい

(1)ΔABPの面積をｐの式で表しなさい。
ｐの値が何なのかわからないのに、どうやったら式が求められるのかわかりません。

(2)２点Ｐ，Ｑは直線y=3x+a上にあり、ΔＡＢＰとΔＡＢＱの面積が等しい。
(i)点Ｑは直線ＡＢに関して点Ｐと同じ測にないなぜか。
(i)を証明するためには背理法を使うことはわかるのですが、実際にそのような背理法を使う問題を見たことがないのでよくわかりません。助けてください

(ii)a,p,qの値を求めなさい
これは全然わかりません。

どうかこの問いを解くヒントを教えてください

回答No.2

debut · ベストアンサー

(1)
ＡＢの式は、ｙ＝ｘ＋２
Ｐを通りｙ軸に平行な直線とＡＢの交点をＣ とすると、
Ｃ Ｐ＝ｐ＋２－ｐ^2（Ｃ 点のｙ座標からＰ点のｙ座標を引く）
これを底辺とすれば△ＡＰＣの高さと△ＢＰＣ の高さの
合計は３なので、△ＡＢＰの面積は底辺×高さの合計÷２です。

(2)
ＱがＰと同じ側にあるとすれば、△ＡＢＰ＝△ＡＢＱより
ＰとＱは同じ点になるか、ＰＱを結ぶ線がＡＢと平行になるはず。
が、ＡＢの傾きは１であるから、ＰＱの傾き３と一致しませんね。

△ＡＢＱの面積は、さっきの△ＡＢＰと同じようにしても
よいし、ＱをＡＢに平行になるようにｙ軸上に平行移動して
その点(０,q^2-q）を求めても　底辺q^2-q-2、高さの合計が３。
よって面積が等しいから、-p^2+p+2=q^2-q-2→p^2+q^2-p-q=4（１）
また、
ＰＱの傾きは(q^2-p^2)/(q-p)=3から、p+q=3（２）
点Ｐはｙ＝３ｘ＋ａ上の点なので、p^2=3p+a（３）
(1)(2)からp,qを求めて(3)。

補足

ありがとうございます
すごくわかりやすいです。
(1)のΔABPの面積は、(p+2-p^2)×3÷2 であっていますか？

すみません背理法の証明の仕方がわかりません。
(2)に書いてある内容はだいたい解るのですが、それをどのように表せばよいのかがわかりません。

回答No.3

debut

(1)はもちろん分数の形で、ｐ^2→ｐ→定数項の順に並べかえ
たらいいかな。

(2)
ＱがＡＢに関してＰと同じ側に「ない」、を「ある」として
その矛盾をいえばいいわけです。
以下のことがらを、ことばを補いながら自分で書きましょう。

ＱがＡＢに関してＰと同じ側にあるとする。

△ＡＢＰ＝△ＡＢＱと底辺がＡＢで共通するから高さは等しい
ＰとＱは同一点であるか、ＡＢ//ＰＱ
前者は問題の「異なる４点」に反する
後者はＡＢの傾き１、ＰＱの傾き３で、ＡＢとＰＱ
　は平行でないということに反する

以上より、ＱはＡＢに関してＰと同じ側にはない。

お礼

ありがとうございました
ほとんど答えあっていました。
それにしてもこれは難しい問題でした。
ついでにこれは灘高校の入試問題です。

回答No.1

kabaokaba

なんでグラフをかかないの？
＃逆にいえば書いてわからないなら，そう明記すべきレベルの問題
＃一度削除されてるけども，これも削除されそうだなあ

>ｐの値が何なのかわからないのに、どうやったら式が求められるのかわかりません。
pの値が分からなくたって，式はでてくる．

>(i)を証明するためには背理法を使うことはわかるのですが
これもグラフを書けば当たり前なんだけどな．
底辺の等しい三角形で面積が同じってことは高さが同じってこと
高さが同じってことは，
頂点を結んだ直線が底辺と平行になるか
頂点が「反対側」にあるかってことだ．

(ii)はやさしい．
ちょろっと計算すればでてくる
三角形は同じ面積なんだからここでpとqの式が一本
PQが傾き3の直線にあるんだからこれでpとqの式が一本
連立方程式ででてきて，切片のaはでてくる．