この計算の間違いを教えてください。

質問

tanθ＝3/4 のとき、(cos^2θ-sin^2θ)/(1+2sinθcosθ)の値を求めよ。

という問題で、答えは1/7です。
自分は下のようにやって間違えたのですが、どこが間違えているのかわからないので教えてください。

tanθ＝3/4より,sinθ/cosθ＝3/4. ∴cosθ＝(4/3)sinθ.
∴(与式)＝{(16/9)sin^2θ－sin^2θ｝/{1+(8/3)sin^2θ}
＝{(7/9)sin^2θ}/{(11/3)sin^2θ}
　　　　＝7/33 ？？？

となりました。よろしくお願いします。

回答No.4

okky0707 · ベストアンサー

よく考えてください。
1+(8/3)sin^2θ≠(11/3)sin^2θです。

そんな小難しく考えなくても、tanθが3/4なら、
cosθ=4/5、sinθ=3/5とわかるので、
代入すれば答えは出ます。

お礼

＞＞そんな小難しく考えなくても、tanθが3/4なら、
cosθ=4/5、sinθ=3/5とわかるので、
代入すれば答えは出ます。

確かにそれが一番楽ですね。質問してよかったです。
別解として書き込んでおきます。

皆さんありがとうございました。

回答No.3

noname#77845

そのまま計算すると、
∴(与式)
={(16/9)sin^2θ－sin^2θ｝/{1+(8/3)sin^2θ}
(sin^2θ+cos^2θ=1から)
=(7/9sin^2θ)/(sin^2θ+cos^2θ+8/3sin^2θ)
=(7/9sin^2θ)/(sin^2θ+16/9sin^2θ+8/3sin^2θ)
=(7/9)/(1+16/9+8/3)
=(7/9)/(9/9+16/9+24/9)
=7/(9+16+24)
=7/49
=1/7
かな？

お礼

ありがとうございました。
覚えておきます。

回答No.2

fukuda-h

∴(与式)＝{(16/9)sin^2θ－sin^2θ｝/{1+(8/3)sin^2θ}
ここまではあってますが、次の行
＝{(7/9)sin^2θ}/{(11/3)sin^2θ}
の分母{(11/3)sin^2θ}は変な計算してませんか？
1+(8/3)を計算してませんか？・・ここが間違いです。
この問題は、
(cos^2θ-sin^2θ)/(1+2sinθcosθ)
＝(cos^2θ-sin^2θ)/(cosθ+sinθ)^2
と分母を変形して、分子分母をcos^2θで割ると
＝{1-tan^2θ}/{1+tanθ}^2と変形できてここへtanθの値を代入するといいと思います。

お礼

その通りでした。
恥ずかしいです。
ありがとうござました。

回答No.1

debut

＞∴(与式)＝{(16/9)sin^2θ－sin^2θ｝/{1+(8/3)sin^2θ}
　　分母の1と(8/3)sin^2θはまとめられませんよ。
　　sin^2θ＋(8/3)sin^2θならば(11/3)sin^2θとできるけど。

お礼

うわ、ホントですね。
なんで気付かなかったんでしょう・・・。

ありがとうございました。