ポアソン比 せん断ひずみ 曲げひずみ

質問

長さl（＝10b）、高さh、幅bの両端支持はりの中央に集中荷重がある。中央におけるせん断ひずみと、曲げひずみの比を求めなさい。ポアソン比は0.3。
という問題です。ポアソン比が（せん断ひずみ/曲げひずみ）というのはわかったんですが、そのまま手つかずです。

回答No.1

h191224 · ベストアンサー

答は、０　です。
なぜなら、梁の中央というのは、この梁の対称面にあたります。
対称面では、剪断応力は発生しないので、ゼロ。
剪断歪は、前段応力を横弾性係数Ｇで割ったものですから、やはり、ゼロ。
計算しなくても、わかります。

計算の必要はありませんが、高さ方向表面における最大曲げ応力σを求めておくと、集中荷重をＦとして、次のようになります。
σ＝ＦＬｈ/８Ｉ
これより、曲げ歪は、
ε＝σ/Ｅ＝ＦＬｈ/８ＥＩ
で求まります。

あなたが、
「ポアソン比が（せん断ひずみ/曲げひずみ）というのはわかったんですが」
と書かれていることが、逆に私にはわかりません。
このようなことは、一般的には言えません。あなたが読まれた元の文献では、どのような制約条件のもとで成立すると書かれていたのでしょうか？

なお、この設問は、まじめに考えると結構複雑な事情があります。

複雑な事情－その１
まず最初に、この設問は不正確です。
中央における曲げ歪は、高さ方向で最大となるので、その値を指すのが常識です。
しかし、中央における剪断歪とは、どこの位置における値を指しているのでしょうか？　剪断歪は、高さ方向の表面で０、内部では放物線的分布をします。材料力学では、この場合、次の３つの値を使い分けます。
１．荷重/断面積/Ｇで計算される平均値
２．放物線分布と考えた時の最大値
３．断面における歪エネルギーが実際の値となるように調整した平均値
（１の値よりも小さい。その比率は断面形状によって変化する。）
今の場合、剪断応力・剪断歪は０なので、この点は問題にはなりませんが、設問自体が不正確であることには違いありません。

複雑な事情－その２
この設問には、違う答があり得ることを紹介しておきましょう。
この梁を中央で切断して考えると、
「中央で固定された、長さがＬ/２、荷重もＦ/２の、片持ち梁２本」
になります。
この片持ち梁の固定端（要するに元の両端支持梁の中央）には、剪断荷重Ｆ/２が作用することになるので、剪断応力τと剪断歪γは、断面での平均的な値を採用することにして、次のようになります。
τ＝Ｆ/２Ａ
γ＝τ/Ｇ＝Ｆ/２ＧＡ

よって、
γ/ε＝Ｆ/２ＧＡ/(ＦＬｈ/８ＥＩ)＝４ＥＩ/ＧＡＬｈ
ここで、
　Ｅ＝２Ｇ(１＋ν)
　Ｉ＝ｂｈ^３/１２＝Ａｈ^２/１２
の関係を考慮して、
γ/ε＝２(１＋ν)ｈ/３Ｌ

材料力学を少し深くかじった人だと、この答にたどり着くのですが、実は間違いです。
元の設問の剪断応力と剪断歪は、誰が何と言おうと、ゼロなのですから。

お礼

ご親切にどうもありがとうございます。
材料力学をもう少し勉強したほうがいいですね。
実は、わたしもこの問題には説明不足ではと考えておりました。
ですが、問題に手をつけられなかったのは事実です。
また、１から勉強しなおします。
ありがとうございました。