数列

質問

数列　1,1+5,1+5+9……　の第ｎ項までの和を求めるという問題なのですが、整理すると1,6,15……となりますよね？ですが、全く規則性が見当たらず一般項すら見当がつきません。

解法を教えてください。

回答No.4

kkkk2222

>> S1=1, S2=7, S3=22, S4=50
……
>> A1=1　　　　　　　=1
>> A2=1+5　　　　　=6
>> A3=1+5+9　　　=15
>> A4=1+5+9+13　=28
……
　　第一階差を取ると、
　B1=A2-A1=5
　B2=A3-A2=9
　B3=A4-A3=13
……
　　第二階差を取ると、
　C1=B2-B1=4
　C2=B3-B2=4
……
　第二階差数列 {Cn} が定数４で、
　第一階差数列 {Bn}は、
　　初項５、公差４の等差数列です。

　　公式は、
　Bn=B1+Σ[k=1,n-1]Ck (n≧2)
　An=A1+Σ[k=1,n-1]Bk (n≧2)　ですから、

　Σ[k=1,n](1)=n
　Σ[k=1,n](k)=n(n+1)/2
　Σ[k=1,n](k^2)=n(n+1)(2n+1)/6　を使い、

　形式的に計算できます。

　Bn=5+Σ[k=1,n-1](4) 　(n≧2)
　　　=5+4(n-1)
　　　=4n+1

　An=1+Σ[k=1,n-1](4k+１)　 (n≧2)
　　　=1+4[n(n-1)/2]+[n-1]
　　　=1+2n(n-1)+n-1
　　　=2(n^2)-n

　　　総和Ｓｎは、

　Sn=Σ[k=1,n]( 2(k^2)-k )
　　　=2[n(n+1)(2n+1)/6]-[n(n+1)/2]
　　　=[2n(n+1)(2n+1)/6]-[3n(n+1)/6]
　　　=[n(n+1)/6][2(2n+1)-3]
　　　=[n(n+1)/6][4n+2-3]
　　　=n(n+1)(4n-1)/6 　となります。

　　　n=1,2,3,4を あてはめて見ると、
　S1=(1*2*3)/6=1
　S2=(2*3*7)/6=7
　S3=(3*4*11)/6=22
　S4=(4*5*15)/6=50　　。

回答No.3

okormazd

ANo.1です。
規則性が見つけられなかったですか。

回答No.2

hiro1122

等差数列の和のさらなる和を求める問題です。

この数列の第k項は等差数列の和（初項１項差４）であるから

ｋ／２・（２＋（ｋ－１）・４）＝２ｋ＾２－ｋ

これよりΣ[k=1,n]（２ｋ＾２－ｋ）を計算すれば和が求まります

回答No.1

okormazd

1,1+1+4,1+5+5+4,1+5+9+9+4,・・・にみえるけど。

お礼

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