確率の問題で、平均値と分散について

質問

袋の中に白玉5個と黒玉1個が入っている。袋から1球取り出し色を確かめて戻す。この試行を4回繰り返す。
白玉と取り出す回数の平均値（期待値）と分散を求めよ。

●白玉を0回取り出す
→1/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 1/1296
●白玉を1回取り出す
→4C1 * 5/6 * 1/6 * 1/6 * 1/6 = 20/1296
●白玉を2回取り出す
→4C2 * 5/6 * 5/6 * 1/6 * 1/6 = 150/1296
●白玉を3回取り出す
→4C2 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 1/6 = 500/1296
●白玉を4回取り出す
→5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 625/1296

平均値(期待値)
= 1/1296 * 0 ＋ 20/1296 * 1 ＋ 150/1296 * 2 ＋ 500/1296 * 3 ＋ 625/1296 * 4
= 10/3
分散
= {(10/3-1/1296*0)^2 + (10/3-20/1296*1)^2 + (10/3-150/1296*2)^2 + (10/3-500/1296*3)^2 + (10/3-625/1296*4)^2}/4
= 9.611959

の形で計算してみたのですが、平均値や分散は、これで正しいのでしょうか？

回答No.1

muttysatty · ベストアンサー

計算は未確認です。
正しいです。
分散は
1/1296 * 0^2 ＋ 20/1296 * 1^2 ＋ 150/1296 * 2^2 ＋ 500/1296 * 3^2 ＋ 625/1296 * 4^2 - ( 10 / 3 )^2

が簡単でいいです。

お礼

muttysattyさん、どうもありがとうございます。
簡単に計算する方法もあったのですね！

回答No.2

kumipapa

平均（期待値）は合っていますが、分散が間違っています。

分散は E((X-E(X))^2) であって、「平均値からのずれの二乗」の期待値。
であるから、
分散 = (1/1296)*(0 - 10/3)^2 + (20/1296)*(1 - 10/3)^2 + (150/1296)*(2 - 10/3)^2 + (500/1296)*(3 - 10/3)^2 + (625/1296)*(4 - 10/3)^2
= 5/9
です。

１回の試行で白玉を取り出す確率 p = 5/6、黒玉を取り出す確率 q = 1/6 の二項分布ですから、n 回の試行で、白玉を取り出す回数の平均は n p、分散は n p q で与えられますので、n = 4 のとき、平均は 4 * (5/6) = 10/3、分散は 4 * (5/6) * (1/6) = 5/9 です。
二項分布で検索すれば平易に説明したサイトが数多くありますので、興味があれば調べてみてください。

お礼

kumipapaさん、ご丁寧な解答ありがとうございました。
もう少し調べてみます。