ｘの5乗＝１ の答えを教えてください！

質問

一つの答えはｘ＝１ということしかわかりません。
どなたが解き方を教えてください！

回答No.10

good777 · ベストアンサー

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解）1の虚5乗根をの1つをωとすると
ω、ω＾2、ω＾3、ω＾4、ω＾5＝1
が答えになる。
［答え］1、ω、ω＾2、ω＾3、ω＾4
　　　　ただし、ωは1の虚5乗根の1つたとえば、ω＝cos(2π/5)＋i sin(2π/5)
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別解）
ｘ＾5＝1
ｘ＾5－1＝0
（ｘ-1）（ｘ＾4+ｘ＾3+ｘ＾2+ｘ+1）＝0
ゆえに、（ｘ-1）＝0,or,（ｘ＾4+ｘ＾3+ｘ＾2+ｘ+1）＝0
ｘ-1＝0のとき、ｘ＝1

ｘ＾4+ｘ＾3+ｘ＾2+ｘ+1＝0のとき、ｘ＾4+ｘ＾3+ｘ＾2+ｘ+1＝0のとき、
両辺をｘ＾2でわると、
ｘ＾2+ｘ+1/ｘ+1/ｘ+1/ｘ＾2＝0、
（ｘ＾2）+（1/ｘ＾2）+（ｘ）+（1/ｘ）＝0、
ここで
（ｘ）　+（1/ｘ）＝ｔとおくと、
（ｘ＾2）　+　（1/ｘ＾2）　＝（ｔ＾2）-2
与式＝（ｔ＾2）-2+ｔ＝0
（ｔ-2）（ｔ+1）＝0
ｔ＝2、or,t=-1
すなわち、（ｘ）　+（1/ｘ）＝2、or,-1
つまり、
（ｘ＾2）＋1＝2ｘ、
or,（ｘ＾2）＋1＝-2ｘ
となる。
以下、２つの２次方程式はそれぞれ２虚解が出るから全部で、
4虚解が出る。（解の公式で導ける）
以上で、1実数解ｘ＝1　と4虚解の合計5つの解がもとまる。

お礼

別解の方を参考にさせていただきたいと思います

ありがとうございました

回答No.11

kony0

どうも質問者さんは、x^4+x^3+x^2+x+1=0の解を求めたいようで。

この方程式は、左辺に特徴があります。どのような特徴かというと
ｎ次方程式において、
・ｎ次と０次の項の係数が等しい
・（ｎ－１）次と１次の項の係数が等しい
・（ｎ－２）次と２次の項の係数が等しい
・・・
一般にｎ次方程式において、「ａ＋ｂ＝ｎとなるすべての非負整数（ａ，ｂ）の組に対してａ次の項とｂ次の項の係数が等しい」方程式を「相反方程式」と呼んだりします。

この方程式は、
・偶数次（ｎ＝２ｋ）のとき、両辺をx^kで割り（x=0は明らかに方程式の解ではないことによりこの割算は有効）、x+(1/x)=tとおくことにより、ｋ次方程式（と２次方程式）を解く問題に帰着できる。
・奇数次（ｎ＝２ｋ＋１）のとき、x=-1が１つの解となり、左辺を(x+1)(...)の形に因数分解したとき、このカッコ内も相反形となるため、偶数次の問題に帰着可能。
という特徴があります。

ちょっと知っていないと厳しいかもしれませんが、高校（１年？）の因数分解か高次方程式あたりのちょっと発展問題には、必ずこのテーマが入っていると思います。

回答No.9

popo2

ド・モアブルの定理より　z＝ｒ・（cosθ + i sinθ）とおくと
z5＝ｒ5・（cos5θ + i sin5θ）＝１
r5＝１なのでr=1になり、（cos5θ + i sin5θ）＝１は実数なので
cos5θ＝１、sin5θ＝０になります。このときcos5θ＝１を考えると5θ＝0°,360°などなので5θ＝0°＋360°×Kとなり、θ＝72°×K K=0,1,2,3,4
よってz＝cos72°+ i sin72°....になります

お礼

ドモアブルの定理！
先生がよくゆってたなぁ。
テストにも出たし。。

ありがとうございました

回答No.8

kony0

複素数平面を使うと、
x=cos(72n)+isin(72n)(n=0,1,2,3,4)
が答えとなるので、
72°とかの三角関数の値を求めますか？

いろいろな考え方はあるでしょうが、36°=180°÷5を基調とした角度ですので、
代表的な以下の問題におとしこめますね。

（考え方１）
t=36°として、cos(3t)=-cos(2t)を解くことによりcos(t)を求める。

（考え方２）
正五角形の隣り合う3点をとってできる三角形は底角36°の二等辺三角形で、等辺を１とすると対角線は(1+√5)/2（有名問題で、中学で相似を用いて一度は求めたことがあるでしょう）

ということで、cos36°=(1+√5)/4
このあたりから攻め始めれば、必要数値はすべて手に入るのでは？
ちなみにsin36°={√(10-2√5)}/4となり、二重根号は避けられなさそうですね。

お礼

複素数は苦手分野だったので、考えるのが大変そうです。
懐かしいです。

ありがとうございました

回答No.7

RKY

解答はテキストで書くには複雑で、途中式も同様です。あなたが中学生か高校生かわからないですが、最近の高校では確か複素平面を扱うそうですから、一つ変わったやり方を紹介しましょう。
　実は複素平面を使えるなら公式？があります。ただし三角関数もできないといけません。1のn乗根は、i^2=-1,
PI=円周率、k=0からn-1(つまりこの問いの場合0から4までを順に当てはめれば５つの答えが出ることになります)として、1のn乗根は

cos(2 k PI /n)+i sin(2k PI /n)
（kに0から4までを当てはめる）

になります。つまり複素平面上で5回で１回転すれば良いわけですね。くわしくは下のURLを参照して下さい。

　いろいろなことを言う人がいます。無論、自分で考えることも大切です。でも、社会にでたら助っ人でもコンピュータでも何でも使えます。適当にバランスを取ってがんばってください。（受験するならそういうのは全く通らないので、せいぜい勉強してください）。
（書いているうちに下の人とだぶっちゃった）

参考URL：

http://www.interq.or.jp/student/suugaku/suuron/node27.html

お礼

複素数ですね。

受験は終わった身なので、気軽な気持ちで数学の問題を解いてみようかな～
なんて思ったのが間違いでしたかね（笑）
数学から離れて２年も経つと、忘れる忘れる・・・
しまいにはこんな問題やったっけ？なんて・・

ありがとうございました

回答No.6

TK0318

そうか・・・私の一つ下から複素数がカリキュラムにあったんだ＾＾；（年齢ばれるなあ・・・）

複素数使えば＃５の回答が一番わかりやすいですね。
（純粋な感想）

回答No.5

128yen

かなり前にやったことなので途中経過とかは覚えていないのですが、
こういう場合は、複素数を考えます。
x軸に実部、y軸に虚部として複素平面を書き、半径１の円を書きます。
もしｘの５乗＝２であれば、２の５乗根を半径とする円を書きます。

答えをｘ＝ｒ・（cosθ + i sinθ）とおくと　｛ｘ＝ｒ・exp (iθ）とも おけます。｝

ｒは、１の５乗根なので、１とできます（ｒは実数なので）
次に、ｘ（＝ｒ・exp (iθ））を２乗すると
ｒ・exp (iθ）×ｒ・exp (iθ）
＝r^2・exp[i(θ＋θ）]となりますよね。
つまり同じものを２回掛ける（２乗する）というのは、複素平面状でθを２倍にすることを表わしています。つまり５乗するというのはθを５倍することにあたります。
１というのは、複素平面上でいうθ=０度の点です。
つまり０度というのは３６０度、７２０度・・・３６０×ｎ度（ｎは整数）と同じですから、仮に３６０度とすると、
５倍して３６０度になるようなθを求めれば、５乗すると１になります。
これよりθは７２度になります。同様に５倍して７２０度になるものは１４４度、・・・３６０×ｎ度の場合は、７２×ｎ度となります。

これらをまとめるとｒ＝１、θ＝（７２×ｎ）度：（ｎは整数）
これをｘ＝ｒ・（cosθ + i sinθ）に代入したものが答えとなります。
通常θは、０度から３６０度を取るので、ｎの値は０～４で
その時のθは０、７２、１４４、２１６、２８８度となり
ｘの答えは５つということになります。
ちなみにθ＝０度の時が、Ｘ＝１に相当しています。

かなり適当な説明でわかりにくかったと思いますが。。。

お礼

複素数。。。懐かしいです（笑）
ｘの５乗＝１という式は見たことがあるような、無いような・・・
という曖昧な記憶でした。
教科書の例題などを見て見ましたが、例題には似た問題さえもありませんでした。

ありがとうございました

回答No.4

TK0318

訂正です。
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x^1+x+1)=0
ではなく
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
です。

あと答えは一応５つでました。（すごい形になりましたが・・・）

回答No.3

TK0318

やっと解けた＾＾；頭の体操になった＾＾

＃２の方はlogを使うといってらっしゃいますが使わなくても解けます。
＃２の方の意見を尊重して始めの部分だけ。
x^5-1=0
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x^1+x+1)=0
ここまでは分かると思います。

ここからはヒント。
(x+1/x)^2=x^2+2+1/x^2
X=0ではない。

あとはがんばって＾＾

お礼

多分先生が求めている解答方法はこれです。
私も式が（ｘ－１）を使うことはわかったのですが、
その後が詰まってしまいました。

がんばります、
ありがとうございました

回答No.2

yojiskt

logを用いた解き方があります。

お礼

ｌｏｇを使うという
ヒントを与えてくださり、ありがとうございました。

回答No.1

Zz_zZ

5
１　＝　１

以外の答えは有りません。

補足

ｘの２乗だと答えが２つになるように、
ｘの５乗だと答えが５つあるはずなんですが・・・
問題を出した先生も答えは５つあると言っていましたので。。
対数を使うのかな～と思って考えてはみましたが、結局わからずじまいでした。