科目別偏差値から５科目偏差値を求める方法

質問

統計について質問です。

科目別の母集団平均と母集団標準偏差と人数
のデータを使って、５科目の点数の合計の偏差値を求める
ことは可能でしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

mark-wada · ベストアンサー

どうでしょうかねえ、無理のような気がします。
例えば
「100点満点の試験、5科目を受験生が受けて、各科目の平均点と標準偏差は分かっている」
わけですよね？
単純な例として5科目とも　平均点50点、標準偏差10点、正規分布している　とします。（まさに偏差値だな）

ここで同一個人内で、各科目ごとの偏差値の相関の問題があると思います。

A 国語で偏差値60の人は、必ず数学でも、英語でも、社会、理科でも偏差値60だ。
偏差値40の人も、30の人も、全ての科目で必ずそうだ、というのなら。
（正の相関、相関係数＝1のケース）
全体としてみて、
「平均点は250点、標準偏差は50点」
となります。素点で350点とった人の偏差値は70と判定できます。

B　国語で偏差値60の人は、数学は偏差値40になってしまう、といった負の相関があると。
「平均点は250点、でも標準偏差はかなり小さい数字」
になるはずです。

現実的には、AとBとの中間で、国語で偏差値60の人は、数学の偏差値は平均55くらいだ、といったあたりでしょう。
（1より小さい正の相関）
となると、
「平均点は250点、標準偏差は50点よりいささか小さい数字」
になるはずです。

各科目間の相関が分からないと、「50点よりいささか小さい数字」が具体的にいくらになるのか、計算できないと思いますが。

お礼

sanoriさんの回答を参考に偏差値を求めました。
しかしmark-wadaさんのご指摘によれば、相関が分からないと、
より正確な偏差値が出ないのですね。

教科毎各点数の度数をもとに相関係数を求めると0.4～0.7の低い正の相関でした。
mark-wadaさんのご回答によれば、先に求めた偏差値は
実際の偏差値よりも高めに算出されるということになりますね。

回答No.2

sanori

なるほど。
得点の分布が正規分布であることを仮定すれば可能です。

考え方は簡単です。
１つ１つの科目において、平均と標準偏差を元に、度数分布に復元します。
そして、５つの度数分布を（階級ごとに）足し算します。
これで、５科目合計得点の度数分布ができあがったことになります。

あとは、５科目合計での平均値と標準偏差を求めれば、そこから各階級（得点）における偏差値を算出できます。

お礼

ご回答をもとに、算出しました。
科目ごとの偏差値に比べ、やや高い標準偏差でしたが
おおむね予想通りの偏差値を求めることができました。
ありがとうございました。

回答No.1

sanori

母集団を総じた統計値から偏差値を求めることはできません。
偏差値は、個々の受検者のものですから。

補足

早速の回答ありがとうございます。
科目別の母集団平均と人数が分かれば、５科目総計の母集団平均を求める方法はわかるのですが（科目別母集団平均点×当該科目受験人数を５科目すべてについて求めてその合計を５で割る）、偏差値については同じようにやるわけにはいきません。

求めたい偏差値は、５００点満点のうち、X点獲得した時の偏差値です。個々の受験者の偏差値ではなく、点数に応じた偏差値を求めたいです。

統計学的に可能なのでしょうか？