組み合わせの問題で困っています。

質問

数学の組み合わせの問題だと思うのですが・・・。

現在、アルバイトのシフトの組み合わせを考えています。
a,b,c,d,e,f,g,hの8人を4人ずつ2グループに分けてグループ別で仕事をします。 仕事は全部で20日です。（各グループ20回ずつです） 8人がお互いに全てのメンバーと同回数ずつ同じグループになれる組み合わせの方法を考えてください。

すみません。アタマが全然回りませんーーーヽ('A`)ノ
ヨロシクお願いしますぅ。

回答No.6

kumipapa

質問者も２０日ではダメだともう分かっている。だから２０日でほぼ同じ回数、または２１日で同じ回数になるように示せば良いでしょうに。これ、厳密な数学の問題じゃないんだから。

互いに全てのメンバーと同回数だけ同じグループになるには７日必要で、そのグループの分け方は例えば、
(abcd / efgh), (abef / ghcd), (abgh / cdef)
(aceg / bdfh), (acfh / bdeg), (adeh / bcfg)
(adfg / bceh)
これで、全てのメンバーと互いに３回同じグループになる。
この７日をさらに繰り返せば、２０日で、互いに８日または９日同じグループで仕事をすることになります。２１日あれば、全てのメンバーと互いに９日同じグループで仕事をすることになる。

お礼

ありがとうございます。
これでシフト表が組めそうです。具体的に解答を示してもらえて本当に助かりました。
ありがとうございます！

回答No.5

root16

No.2です。
何度もすみません。補足します。
もし互いに全てのメンバーと同回数ずつ同じグループになれる
組み合わせがあるならば、aに対して同じグループになった
回数が同じになる組み合わせがあるはず。から始めました。
1日目：0回3名、1回3名
2日目：0回1名、1回6名
3日目：1回5名、2回2名
4日目：1回2名、2回5名
5日目：2回6名、3回1名
6日目：2回3名、3回4名
7日目：3回7名
なので、少なくともaに対して成り立つ場合は7日の倍数です。
今回の題意は20日で全てに対して互いに成り立つ組み合わせはあるか？
ですので答えとしてはそのような組み合わせはない
で良いのではないでしょうか。
※残念ながら○日で題意を満たす組み合わせがあるかどうか
分かりませんでした。

お礼

上の方に解答を頂きました。
考え方を示していただき、ありがとうございました。

回答No.4

ucchamachan

＃１です。
質問されておられるレベルを勘違いしてすみません。

ざっと書き出すと、３５日間でそれぞれ１５回同じ日になっていましたので、２０日間だと１５×（２０÷３５）で約８．５回になっていましたので、このあたりの回数ほどは同じ人とあたるのではないかと．．．せっせとエクセルで文字数カウントしておりますが、なかなか難しいですね。失礼いたしました。

お礼

上の方に解答を出していただけました。
カウントしてくださり、ありがとうございました。

回答No.3

root16

No.2です。
すみません。
もう少し先までやってみると、
7日目で同回数になることが出来ました。
21日目であれば同回数になることができるのでは
ないでしょうか。
失礼いたしました。

補足

21日目で同回数になるのですか？？？

7日間の組み合わせを3回繰り返すということですよね？
できればその７日間の組み合わせの方法を教えていただきたいのですが。。。

回答No.2

root16

全てのメンバーと同回数同じグループにはなれない。
まず最初の1日目、同じグループになった人は1回同グループ（3名）。
2日目、1日目と違うメンバーと入れ替える（3名）、
すると1回同じグループになった人6名とまだ同じグループに
なっていない人1名ができる。
3日目以降も同回数にならない。
なのでメンバーが8名ではそもそも同回数にならないのでは？

補足

同回数にならない。というのはわかりました！

おそらく、5回一緒になる人と、4回一緒になる人ができてしまうと思うのですが、
その組み合わせの方法がわかりません・・・。
どうしても、6回一緒になる人と、3回一緒になる人がでてきてしまうのですが、どうしたらよいのでしょう・・・。。。

回答No.1

ucchamachan

８人から４人とる組み合わせは
８Ｃ４で７０通りです。（８×７×６×５）÷（４×３×２×１）
４人とった余りの４人ももう一組ですので、トータル３５日分ですので、２０日で回すのには日数が足りないと思います。

補足

35日分を20日で回すには確かに日数が足りないですね(￣□￣；)

それでも、なるべく、全てのメンバーが同じ回数ずつ一緒のグループに入る組み合わせの求め方が知りたいのです・・・。

現在東大数学科と早大建築科卒のトモダチに計算してもらってますが、
なかなか答えがでません・・・。
みなさんよろしくお願いします。